2025高考数学二轮专题复习专题五概率与统计微专题2随机变量及其分布 .docx
微专题2随机变量及其分布
[考情分析]离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
考点一分布列性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(1)pi≥0，i=1，2，…，n.
(2)p1+p2+…+pn=1.
(3)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn.
(4)D(X)=x1-E(X)2p1+x2-
(5)若Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X).
例1(1)(2024·廊坊模拟)已知X的分布列如表所示，且Y=aX+b，E(Y)=56，则D(Y)的值为(
X
-1
0
1
P
a
1
1
A.1 B.518
C.59 D.
(2)(多选)已知a0，b0，c0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
a
b
c
下列选项正确的是()
A.b=14 B.a+c=
C.43E(X)83 D.D(X)
[规律方法]分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
跟踪演练1(1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=3
C.D(X)=29 D.D(3X+2)
(2)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为()
X
1
2
3
P
a
2b
a
A.29 B.1
C.227 D.
考点二随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，
E(X)=np，D(X)=np(1-p).
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n
考向1相互独立事件
例2(多选)(2024·昆明模拟)在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足P(A)=P(B)=P(C)=13，P(A∪B)=59，A与C互斥，
A.P(AC)=1
B.A与B相互独立
C.P(ABC)=1
D.P(A∪B∪C)≤8
考向2超几何分布
例3(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.
考向3二项分布
例4(2024·无锡模拟)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
[规律方法]求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
跟踪演练2某市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙