2025年中考数学二次函数压轴题：直角三角形存在性问题（含答案）.pdf

专题12直角三角形存在性问题

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(1,1),点8坐标为(,3),在x

轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标.

(1)若NA为直角，过点A作的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

(2)若N8为直角，过点8作A8的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

(3)若/C为直角，以为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C.(直径所对的圆周角

构造三垂直步骤：

①过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似.

三、代数法：表示线段构勾股

(1)表示点：设C|坐标为(m,0),又A(1,1)、B(,3)；

2222

(2)表示线段：AB=245,AC,=y/(m-l)+l,BC,=yJ(m-5)+3;

2

(3)分类讨论：当NBAq为直角时，AB+AC：=BC：；

2222

(4)代入得方程：20+(m-l)+l=(m-)+3,解得：加=；.

小结：

几何法：(1)“两线一圆作出点；

(2)构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数.

代数法：(1)表示点A、B、C坐标；

(2)表示线段48、AC、BC；

(3)分类讨论①②432+80=4^2、

(4)代入列方程，求解.

如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相

似，而是全等.

例.(2024•酒泉二模)

1.如图，平面直角坐标系中，已知二次函数一加+bx+c的图象与无轴交于点4T,0)和

点3(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).点。为直线BC上的一动点.

⑴求此二次函数的表达式；

⑵如图2,是否存在点。，使得以A,C,D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求

出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

对应练习：

2（024春•兰山区校级月考）

2.如图，二次函数产炉-2了-3的图象与无轴交于A,B两点,与y轴交于点C,M为抛物

⑵对称轴上是否存在点N,使得以B,C,N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出

点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2（024•富顺县二模）

3.在平面直角坐标系中，二次函数y=尤+c的图象与x轴交于4-2,0）,84（,0）两点，

交》轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

⑵在二次函数2

y=^x+x+c的图象上是否存在点M,使三角形ACM是以AC为直角边的

直角三角形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024•拂归县模拟)

4.在平面直角坐标系中，把与无轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线如图，抛

物线L：»=-gx+2交x轴于点A,8(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线4

与右是“共根抛物线”，其顶点为P.

(1)若抛物线4经过点(1,-5),求抛物线L对应的函数关系式；

2

(2)是否存在以点A,C,P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出

抛物线4对应的函数关系式；若不存在，请说明理由.

(2024•遂宁)

5.二次函数=讣2+法+。(。h0)的图象