专题10 立体几何中球的切接问题（6大题型）（解析版）.docx
专题10立体几何中球的切接问题
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TOC\o1-1\h\u题型01外接球模型一：墙角模型 1
题型02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 4
题型03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 6
题型04外接球模型四：垂面模型 12
题型05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 18
题型06内切球 24
题型01外接球模型一：墙角模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
【典例训练】
一、单选题
1．（云南省昭通市普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟2024-2025学年高三上学期联考检测数学试题）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件结合球的表面积公式求球的半径，根据关系长方体体对角线等于其外接球的直径列方程求.
【详解】设长方体的外接球的半径为，
由已知，所以，
又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为，
长方体体对角线等于其外接球的直径，
所以，
所以.
故选：C.
2．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的外接球即可求解体对角线得半径，进而利用体积公式求解.
【详解】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
设四棱锥外接球的半径为，则，所以，
故四棱锥外接球的体积．
故选：C
3．（23-24高三下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可得平面，将鳖臑补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解.
【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以，
又，平面，所以平面，
将鳖臑补全成长方体，如图，
则此四面体的外接球的半径为，
其外接球的表面积为.
故选：B.
4．（23-24高三下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正方体的外接球来研究正四面体的外接球，只需要把正四面体放入正方体中，如图分析研究即可得到球的半径.
【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，
??
设正方体的棱长为，则，解得，
三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径，
所以球的体积，
故选：C.
5．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解.
【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径为.
由，得.
由于平面，所以该三棱锥的体积为.
故选：B
题型02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型
【解题规律·提分快招】
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
【典例训练】
一、填空题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为.
【答案】/
【分析】利用三棱锥对棱相等，将三棱锥补全为为长方体，再利用长方体的外接圆直径为长方体的体对角线即可得解.
【详解】
如图，由于三棱锥对棱相等，
将三棱锥补全为为长方体，
从而外接圆直径为长方体的体对角线，
设长方体的棱长分别为，球的半径为，
则，
所以，
解得.
故答案为：
2．（23-24高三下·重庆荣昌·阶段练习）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为．
【答案】
【分析】将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角线即为四面体的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可.
【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别