《 数学分析续论》模拟试题.doc

PAGE PAGE 5 《 数学分析续论 》模拟试题 2005年７月　复习资料 一、单项选择题 （１）设 为一数列，且存在一收敛子列．这时下面正确的是　．．．．．[ D ] 　　 Ａ． ；　 Ｂ．可能收敛，但A不一定成立； Ｃ．必定不收敛； 　　　　Ｄ．当预先假设了收敛时，才有Ａ成立． ［理由］　 收敛的充要条件为：的所有子列 都收敛；此时必有Ａ成立． ［思考题］　当假设 为一特殊的数列（例如单调数列）时，结论将有何改变？ （２），它等价于 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ B ] Ａ．当； Ｂ． 在中除有限个项以外，其余所有的项都落在邻域之内； Ｃ．都收敛； Ｄ．中有无穷多个子列都收敛于． ［理由］ Ｂ与的定义显然是等价的；它也可说成是：“在邻域外，至多只有有限个项”． 因Ｃ 中未假设的极限相等，而Ｄ中所说的“无穷多个子列”并不等同于“所有子列”，故这些都是错误的． （３）设在R上为一连续函数．这时下面正确的是　．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ A ] Ａ．当为闭区间时必为闭区间；　Ｂ．当为闭区间时必为闭区间； Ｃ．当为开区间时必为开区间；　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． ［理由］ 依据连续函数在闭区间上的最大（小）值性定理与介值性定理，可知 A 是 正确的．容易举出反例，说明 B 与 C 都是错的，例如： ［思考题］　当把 Ａ 与 Ｂ 中的所有“闭区间”改为“开区间”时，结论又将如何？ （４）设 为一正项级数．这时下面错误的是　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ C ] Ａ．若收敛，则；　　　Ｂ．若，则 收敛； C．若 收敛，则；　 Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ 中必有一个是错的． ［理由］　因为 是正项级数收敛的一个充分条件（不是必要条 件），而是任何级数收敛的一个必要条件（不是充分条件），所以错误的 结论只有 C ． 　　　　 二、计算题 　（１）试求下列极限： ①． ［解］＝． ②． ［解］利用　（其中为连续函数），借助洛必达法则，有 ． 　 　　　 　　（２）设 ． 试求． 　　［解］　一般地，对于向量函数 ， 其导数为一2 × 2 矩阵，即 ． 由此求得 ． （３）试求由曲线 ，直线，以及轴所围曲边梯形 的面积． ［解］　由定积分的几何意义，所求 曲边梯形的面积为 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （４）用条件极值方法（Lagrange乘数法），求内接 于圆 的等腰三角形（如图）的最大面积． ［解］ 如图所示，设内接等腰三角形的顶点坐标为 ，底边一端为（不妨设．于是， 三角形的面积为；而是圆上任意 一点，它满足条件． 依据Lagrange乘数法，设 ， 且令 通过消去，容易得到方程，由此解出 ． 显然，不合要求（此时三角形退缩为一点，对应于三角形面积取得最小值的情形）； 而当时，，对应于三角形面积的最大值为 ． 容易知道，上述面积为最大的等腰三角形，其实就是一个每边长为的 正三角形． ［注２］　由，并以代入，又可得到一个不等式： ． ［思考题］当把题中的圆改为椭圆时，结果又将如何？ 大家不妨自己去算一算． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、证明题 （１） 证明：方程必有正根． ［证］　证明需要用到连续函数的介值性定理，即若上为一连续函数， 且有，则内能取得之间的一切值． 设，显然它在上连续．因为 ， 故由无穷大量的定义，对于任意正数，必定存在． 现取，于是有．利用介值性定理，，满足 ．　　　　　　　　　　 （２）证明：若，收敛，则 亦收敛． ［证］　由于收敛，因此，于是当足够大时，， 从而又有 ．依据正项级数的比较判别法，推知收敛． ［注１］ 也可利用比较判别法的极限形式，由 ， 同样证得收敛． ［注２］ 当为一般项级数时，不能直接使用比较判别法．事实上，上述命题一般也不成立，例如： 　　为收敛，而 却为发散．