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数学分析考研试题及答案
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一、选择题(每题[X]分,共[X]分)
1.设函数\(f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}\),其中\(x\neq0\),\(x=0\)为间断点,则此间断点的类型为:
A.可去间断点
B.无穷间断点
C.跳跃间断点
D.振荡间断点
2.设\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\),则\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)的值为:
A.1
B.0
C.无穷大
D.无法确定
3.设函数\(f(x)=x^3-3x+2\)在区间[0,2]上连续,在区间(0,2)内可导,则\(f(x)\)在区间[0,2]上的极值点个数为:
A.1
B.2
C.3
D.0
二、填空题(每题[X]分,共[X]分)
1.设\(f(x)=\frac{e^x}{x}\),则\(f(x)=\)___________。
2.设\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\),则\(\lim_{x\to0}\frac{\cos3x}{x}=\)___________。
3.设函数\(f(x)=x^2-2x+1\)在区间[1,3]上连续,在区间(1,3)内可导,则\(f(x)\)在区间[1,3]上的最大值为___________。
三、解答题(每题[X]分,共[X]分)
1.设\(f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x-1}\),求\(f(x)\)的极限。
2.设\(f(x)=x^2\lnx\),求\(f(x)\)的导数。
3.设函数\(f(x)=e^x\sinx\),求\(f(x)\)在区间[0,π]上的最大值和最小值。
四、计算题(每题[X]分,共[X]分)
1.计算定积分\(\int_0^1\frac{x^2-1}{\lnx}\,dx\)。
2.设\(f(x)=\sqrt{1+x^2}\),求\(f(x)\)。
3.设\(g(x)=e^x\sinx\),求\(g(x)\)。
五、证明题(每题[X]分,共[X]分)
1.证明:若\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=L\),且\(L\neq0\),则\(\lim_{x\toa}f(x)=L\cdot\lim_{x\toa}g(x)\)。
2.证明:设\(f(x)\)在闭区间[a,b]上连续,则\(f(x)\)在[a,b]上必存在最大值和最小值。
六、综合题(每题[X]分,共[X]分)
1.设\(f(x)=x^3-3x+2\),求\(f(x)\)在区间[1,3]上的最大值和最小值,并求出相应的驻点和导数的零点。
2.设\(f(x)=e^x\sinx\),求\(f(x)\)在区间[0,π]上的最大值和最小值,并讨论\(f(x)\)的凹凸性和拐点。
试卷答案如下:
一、选择题
1.A.可去间断点
解析思路:函数\(f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}\)在\(x=0\)处的极限不存在,但可以通过定义\(f(0)=0\)来使间断点可去。
2.B.0
解析思路:根据极限的性质,\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\),所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=0\)。
3.B.2
解析思路:函数\(f(x)=x^2-2x+1\)在\(x=1\)处取得极小值,在\(x=2\)处取得极大值,因此在区间[0,2]上有两个极值点。
二、填空题
1.\(f(x)=e^x\sin\frac{1}{x}-\frac{e^x}{x^2}\)
解析思路:使用商的导数法则,\(f(x)=\frac{d}{dx}(x^2)\cdot\frac{1}{x}-x^2\cdot\frac{d}