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第一章习题课(场强、电势） 1、描述静电场性质的两条基本规律是高斯定理、 静电场的环路定理。相应的数学表达式为 2、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分 等于零，即 这表明静电场中的电场线 不闭合。 3、一均匀静电场，场强 则点a（3、2）和点b（1、0）之间的电势差为 4、一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外某区域的电势表达式为V＝Aln(x2+y2) ，式中A为常数，该区域电场强度的两个分量为： 5、在圆心角为?，半径为R的圆弧上均匀分布着电荷q，试求：(1)圆心处的电势； (2)圆心处的场强。 任取一小段圆弧dl，其电量为 解：电荷线密度 圆弧在O点产生的电势 y R q ? O x 的方向如图所示 y R q ? O x (在习题四、7中? =?) 奇函数在对称区间积分为零 6、半径为R的球面上有一小孔，小孔的面积为ΔS, ΔS与球面积相比很小，若球面的其余部分均匀分 布正电荷q，则球心O点场强大小 E = 方向由O指向ΔS，电势 V = 解: ΔS的电量为 ΔS在O点产生的场强和电势分别为 ? o 完整球面在O点产生的场强和电势分别为 根据场强叠加原理 根据电势叠加原理 ? o 7、一个半径为R1的均匀带电球面，带电+q，其外套一个半径为R2的同心均匀带电球面。R2＞R1，外球面带电–Q，求两球面间的电势差；若有一试验电荷q0从外球面处移到无限远处，电场力作功多少？ ? R1 R2 –Q +q O 解法一：由高斯定理可得 解法二：以无穷远处为电势零点 则由电势叠加原理可得 内球面电势为 外球面电势为 8、一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为? =Ar(r＜R)，式中A为常数，试求： (1)圆柱体内，外各点场强大小分布； (2)选距离轴线的距离为R0(R0＞R)处为电势零点，计算圆柱体内，外各点的电势分布。 R S r h 上底 下底 侧面 解：(1)作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面 根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向 由高斯定理 R r R 时, S r h 上底 下底 侧面 h dr r 即 R r S h 上底 下底 侧面 r R 时， 即 (2) 电势分布 r R时 r R时 解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加原理来计算，作一半径为r，厚度为dr的球壳 其电量为 9、球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带电，电荷体密度为?，A、B两点分别与球心O相距r1和r2，(r1＞R2，r2＜R1)，求A、B两点的电势。 A O R2 R1 B r1 r dr r2 （1）A点处， r1 R2 A O R2 R1 B r1 r dr r2 （2）B点处， r2 R1 解[2]：利用高斯定理求均匀带电球壳产生的场强分布，再由电势和场强的积分关系求电势分布。 以O点为中心，r为半径作高斯球面，由电荷分布的球对称性可知电场分布有球对称性 A O R2 R1 B r1 r2 S r ∴ 根据高斯定理 ∴ ∴ 得电场强度的分布 (1) A点处， r1 R2 (2) B点处， r2 R1 = 0 10.(第一章习题二.9)无限长均匀带电圆柱面，电荷面密度为?，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。 R r 为高斯面, 作一半径为r，高为h的同轴圆柱面 解： 根据对称性分析，圆柱面 侧面上任一点的场强大小相等， 方向 沿矢径方向。 (1) r R时, 由高斯定理 (2) r R时, ∴ 的方向垂直轴线沿径向，? 0则背离轴线； ? 0则指向轴线。 即 由高斯定理 即 得 得 11、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为?，P点与平面的垂直距离为d，若取平面的电势为零，则P点的电势 ，若在P点由静止释放一个电子(其质量为m，电量绝对值为e)则电子到达平面的速率为： P d 解法一: ,方向如图 场强大小 P点的电势 电子受电场力大小为 方向指向平面 电子加速度大小为 ∵ 电子在P点的电势能 电子在平面上的电势能 电子在P点和平面上的动能分别为 0 和 平面上的电势 解法二: P点电势 静电场是保守场，能量守恒 ? 电子到达平面时的速率为 12 、求电偶极子电场中任一点P的电势和场强。 解： （1）求电势分布 根据电势叠加原理 （2）求场强分布 采用球面坐标系，其极轴沿电矩方向。由于轴对称性，V与方位角?无关。 可见， 始终在极轴 与 组成的平面内