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第一章 函数与极限习题课 Ⅰ 数列与函数的极限 【例4】求函数 的间断点，并指出间断点的类型。 解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为 所以 为间断点。 而 所以 为第二类无穷间断点。 所以 为第一类可去间断点。 【例5】设 求 的间断点, 并 说明间断点所属类型。 解: 由 的表达式, 间断点只能在无定义的点或分界点处 所以 是第二类无穷间断点. 当 时, 所以 是第一类跳跃间断点. 当 时， 证明: 令 【例6】证明方程 在区间 内至少有一个根. 则 在 上连续, 又 由零点定理，至少 , 使得 即 分析 如果令 ，那么证明方程 有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。 所以方程 在区间 内至少有一个根. 证明: 令 【例7】设 在 上连续, 且 证明在 内至少存在一点 , 使 . 显然 在 上连续, 已知 故 则当 时, 可取 或 . 而当 时, 由零点定理，至少 , 使得 分析 如果令 ，那么证明等式 成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明。 即 . 分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间 . 解：函数为初等函数， 【例8】求函数 的连续区间，若有间断点，指出 间断点的类型. 为其间断点。 因为 所以 为第二类无穷间断点. 所以连续区间为 和 分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。 【例9】* 求函数 的所有间断点，并指出类型。 解: 当 时， 当 时， 当 时， 所以 * 几何解释: 一、数列极限 1．数列极限的定义 2．数列极限的运算法则 3．数列极限的主要性质 4．数列极限的存在准则 二、函数的极限 1．函数极限的定义 2．函数的左右极限 左极限: 右极限: 3．函数极限收敛的充要条件 4．函数极限的运算法则 5．函数极限的主要性质 则 （4）夹逼准则：若 ) (3 （0或0） ,则在 局部保号性：若 内有 三、无穷小与无穷大 1．无穷小的基本概念 （1）无穷小的定义 （2）无穷小阶的比较 2．无穷小的主要性质 四、两个重要极限 1. 2. 则 或 五、解题方法及典型例题 数列极限解题 方法流程图 求 可找到数列 和 满足 应用夹逼准则 验证 单调有界 应用单调 有界准则 恒等变形 应用极限的四则 运算法则求极限 判别 的形式 为分式 应用等价无穷小代换 应用极限的四则 运算法则求极限 恒等变形 求 判别 的形式 为无穷小,且 为未定式 或 为复合函数 应用连续函数的极限运算准则 应用重要极限 函数极限解题 方法流程图 一、函数连续的基本概念 1．函数连续的定义 （1） 在 点连续: （2） 在 点左连续: 2. 在 连续的充要条件: 右连续: （3） 在区间上连续：在 每一点都连续，叫做在 连续；如果同时在 右连续，在 左连续,则叫做在