D第一章 函数和极限.ppt

第一节 函数及其性质 一、函数的概念 1、函数的定义 2、确定函数的两个要素 3、函数的表示法 二、函数的几种特性 1、有界性 2、单调性 3、奇偶性 4、周期性 三、反函数 四、初等函数 1、基本初等函数 2、复合函数 3、初等函数 五、分段函数 六、函数模型的建立 第二节 极限的概念 一、邻域及其表示法 二、数列的极限 三、函数的极限 四、单侧极限 五、极限的性质 第三节 无穷小与无穷大 一、无穷小量 1．无穷小量的定义 2．无穷小的运算性质 3．具有极限的函数和无穷小之间的关系 二、无穷大 三、无穷大与无穷小的关系 四、无穷小的比较 第四节 极限的四则运算法则 极限的计算 第五节 两个重要极限 1、第一个重要极限 2、第二个重要极限 第六节 函数的连续性 一、连续函数的概念 1、增量 2、函数的连续性 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 1、初等函数的连续性 2、利用函数的连续性求极限 3、复合函数求极限的方法 四、闭区间上连续函数的性质 解　令 5x = u，当 x →0 时 u → 0， 因此有 例 12 也可以按如下格式进行： 例 13 解 　　定理 7　设函数 u ( x )，v ( x ) 在 x0 的某个邻域内( 或 | x | M，M 0 时 )， 满足 u ( x ) ≤ v ( x ) 或 u ( x ) v ( x )( x0 可以除外)， 若 x? x0 (或 x? ?)时它们的极限都存在， lim u ( x ) ≤ lim v ( x ) 特殊地， 若在 x0 的某个领域内(或 | x | M, M 0 时)，f ( x ) ≤ 0(或 ≥ 0)， lim f ( x ) ≤ 0 (或 ≥ 0). 则 则 2.第二个重要极限 定理 8　单调有界数列必有极限 . 证　因为由 例 由此可知，un+1 的前 n 项不小于 un 的相应项， 而且 un + 1 比 un 的展开式 所以 un+1 un. 因此{un }是单调递增数列. 此外，由 un 的展开式可得 所以 {un} 是有界数列. 　　综上所述，{un} 是单调有界数列，因此极限存在. ≤ ≤ ≤ 我们还可以证明， 都有极限，且 人们记这个极限为数 e，于是有 数 e 是一个无理数， 它的近似值可由 展开式中取前若干项计算， 　　以 e 为底的指数函数 y = ex 的反函数 y = logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y = ln x. 它的前八位数是 e = 2.718 281 8 ??? 解　因为 所以，有 例 14 例 15 　　解　方法一　令 u = -x， 因为 x ? 0 时 u ? 0， 所以 方法二　掌握熟练后可不设新变量 例 16 解 则当 x? 0 时，u? e， 所以原式 = 1，即 例 17 解　令 u = ex - 1 ，则 x = ln(1 + u)， 当 x ? 0 时 u ? 0. 所以 例 18 解　因为 所以令 u = x - 3 ，当 x ? ? 时 u ? ? ， 因此 例 19 解 一、连续函数的概念 　　定义 1　设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 则称函数 y = f ( x ) 在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y = f (x) 的连续点 . 且 　　记 ?x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量， 　　记 ? y = f (x) - f (x0) 或 ? y = f (x0+ ?x) - f (x０) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量. 　　 那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为： 　　定义 2　设函数 y = f (x) 在 x0