常系数线性微分方程组.ppt

其通解为其通解为其特解为2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*(3)矩阵A有复特征值2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*例5解的根,解得解得2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*其中，它的特征值中可能有共轭复数，，特征向量可能是复向量。将线性无关的复向量值函数线性无关的实向量值函数。结论SeeP304南京航空航天大学理学院数学系南京航空航天大学理学院数学系南京航空航天大学理学院数学系南京航空航天大学理学院数学系常系数齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组第3节常系数线性微分方程组本节主要讨论常系数线性方程的解法。方法：代数的方法一阶常系数非齐次线性微分方程组2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*一阶常系数非齐次

线性微分方程组为先讨论(1)的求解即(1)的基解矩阵的求法.方法：代数的方法2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*3.1常系数齐次线性微分方程组2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*STEP1STEP2STEP3STEP4将(2)代入(1)得基解矩阵与其特征值和特征向量的关系解法找n个线性无关的特解（构成基解矩阵）方程组(3)有非零解的充要条件是:2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*结论即2基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理3.1是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.证明:01020304由上面讨论知,每一个向量函数都是(1)的解,因此矩阵是(1)的解矩阵,05所以注1：A的特征方程的n个特征根都是单根由线性代数的知识有：属于不同特征值的特征向量是线性无关的．是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.例12009年6月南京航空航天大学理学院数学系*解其通解为例3.1求方程组2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*的通解.解因此特征根为它们相的特征向量为故基解矩阵为2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*故通解为注2：A的特征方程有重根时，但有n个线性无关特征向量。且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵.解例2设求A的特征值与特征向量．由此得基础解系为：2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*由故基解矩阵为2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*故通解为若属于li的线性无关特征向量个数ni如何确定常系数线性微分方程组(1)的ni个线性无关的特解？矩阵A的线性无关的特征向量的个数n时定理3.22009年6月南京航空航天大学理学院数学系*说明1:2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*其中见SeeP301定理2.3说明2:对应于矩阵A的每个特征值按定理3.1或定理3.2确定的那些线性无关的特解合起来仍然线性无关，它们就是方程组（1）的一个基本解组。例3解特征方程为为求其对应的特征向量考虑方程组解得由其通解为其通解为代入初始条件例4求方程组2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*满足初始条件解这里系数矩阵特征根为我们需要考虑下面方程2009年6月南京航空航天大学理学院数学系*和首先讨论这个方程组的一个基解为其次南京航空航天大学理学院数学系南京航空航天大学理学院数学系南京航空航天大学理学院数学系南京航空航天大学理学院数学系