高中数学立体几何方法题型总结.doc

立体几何

重要定理：

1〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.

2〕直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

3〕平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

4〕两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.

两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

5〕推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，那么它们交线垂直于第三平面.

证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，

因为那么.

一：夹角问题

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．

异面直线所成角：范围：

〔1〕平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常用到余弦定理)

〔2〕补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

(3)向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)

直线与平面所成的角[0°，

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

向量法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，那么有的求法

QUOTE二面角的平面角，θ，0°?θ?180

〔1〕定义法：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线〔射线〕m、n，那么射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

〔2〕三垂线法：〔三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，那么AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。〕

向量法：设，是二面角的两个面，的法向量，那么向量，的夹角〔或其补角〕就是二面角的平面角的大小．假设二面角的平面角为，那么．

二、空间距离问题

两异面直线间的距离

方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，且，那么异面直m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。

方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。

点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；

向量法：点到直线距离：在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，那么定点到直线的距离为

点到平面的距离

方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。

步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.

方法二：坐标法。

线面距、面面距均可转化为点面距

三、平行与垂直问题

证明直线与平面的平行：〔1〕转化为线线平行；〔2〕转化为面面平行.

证明平面与平面平行：〔1〕转化为线面平行；〔2〕转化为线面垂直.

证明线线垂直：〔1〕转化为相交垂直；〔2〕转化为线面垂直；〔3〕转化为线与另一线的射影垂直；

方法〔2〕：用线面垂直实现。方法〔3〕：三垂线定理及其逆定理。

证明线面垂直：〔1〕转化为该直线与平面内相交二直线垂直；〔2〕转化为该直线与平面的一条垂线平行；〔3〕转化为该直线垂直于另一个平行平面；〔4〕转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

方法〔1〕：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。

面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。

高中数学之立体几何

空间几何体的三视图和直观图

1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下

2画三视图的原那么：长对正、高平齐、宽相等

3直观图：斜二测画法〔角度等于45度或者135度〕

4斜二测画法的步骤：〔1〕.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；〔2〕.平行于y轴的线长度变半，平行于x轴的线长度不变；〔3〕.画法要写好。

空间几何体的外表积与体积

〔一〕空间几何体的外表积：1棱柱、棱锥的外表积：各个面面积之和

2圆柱的外表积3圆锥的外表积：

4圆台的外表积5球的外表积

6扇形的面积公式〔其中表示弧长，表示半