《利用导数求极限》课件.ppt

***利用导数求极限的思路将极限转化为导数通过构造适当的函数，将所求极限转化为该函数在某点处的导数。利用导数定义求极限根据导数的定义，利用导数的极限表达式求解极限。运用导数公式求极限利用已知的导数公式，直接计算函数的导数，从而求得极限。例题1：求lim(x→1)(x2-1)/(x-1)步骤1将(x2-1)分解为(x+1)(x-1)步骤2约去(x-1)步骤3将x=1代入(x+1)中结果lim(x→1)(x2-1)/(x-1)=2例题2：求lim(x→0)(sin(x))/x当x趋近于0时，sin(x)/x的极限值为1。例题3：求lim(x→0)(1-cos(x))/x1使用导数利用导数的定义，求函数f(x)=1-cos(x)在x=0处的导数。2求导f(x)=sin(x),因此f(0)=sin(0)=0。3求极限由导数的定义，lim(x→0)(1-cos(x))/x=f(0)=0。例题4：求lim(x→0)(e^x-1)/x步骤1利用导数的定义，求得e^x的导数为e^x步骤2将导数公式代入原式，得到lim(x→0)(e^x-1)/x=e^0=1结论因此，lim(x→0)(e^x-1)/x=1例题5：求lim(x→∞)(1+1/x)^x当x趋向于无穷大时，(1+1/x)^x趋近于e。例题6：求lim(x→0)(a^x-1)/x1利用导数当x→0时，(a^x-1)/x的极限等于a的自然对数ln(a)2重要结论这个结论在微积分中非常重要，它可以帮助我们求解许多其他极限问题3应用广泛它广泛应用于金融、物理、工程等领域例题7：求lim(x→0)(ln(1+x))/x通过观察曲线图，可以发现当x趋近于0时，(ln(1+x))/x的值趋近于1。例题8：求lim(x→0)(sin(ax))/x1利用导数sin(ax)的导数是acos(ax)2洛必达法则当x趋于0时，sin(ax)和x都趋于0，满足洛必达法则的条件。3最终结果根据洛必达法则，极限值为a。例题9：求lim(x→0)(cos(ax)-1)/x步骤1将分子乘以cos(ax)+1，分母乘以cos(ax)+1步骤2利用三角恒等式：cos2(ax)-1=-sin2(ax)步骤3化简表达式，得到lim(x→0)(-a2sin2(ax))/(x(cos(ax)+1))步骤4利用极限的性质，将极限分解为两个部分步骤5利用sin(x)/x的极限公式和cos(x)的连续性，求得最终结果例题10：求lim(x→∞)(1+1/x)^(bx)1求导先对(1+1/x)^(bx)求导，得到：b(1+1/x)^(bx-1)(-1/x^2)。2极限然后求当x趋于无穷大时的极限，即：lim(x→∞)b(1+1/x)^(bx-1)(-1/x^2)=0。3结论因此，lim(x→∞)(1+1/x)^(bx)=e^b。例题11：求lim(x→0)[(x^2+1)/(x+1)-2]此题我们可以先化简表达式，然后利用导数求极限例题12：求lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]步骤操作结果1令y=(1+x)^(1/x)ln(y)=(1/x)ln(1+x)2求ln(y)的极限lim(x→0)ln(y)=lim(x→0)[(1/x)ln(1+x)]=13求y的极限lim(x→0)y=lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e4求原式的极限lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]=e-e=0例题13：求lim(x→∞)[(x^2-1)/(x^2+1)]当x趋于无穷大时，函数值趋于1，所以lim(x→∞)[(x^2-1)/(x^2+1)]=1例题14：求lim(x→0)[(x^3-1)/(x^2-1)]步骤1：分解因式lim(x→0)[(x^3-1)/(x^2-1)]=lim(x→0)[(x-1)(x^2+x+1)]/[(x-1)(x+1)]步骤2：约分lim(x→0)[(x^2+x+1)/(x+1)]步骤3：代入求值lim(x→0)[(x^2+x+1)/(x+1)]=(0^2+0+1)/(0+1)=1课后思考题极限与导数的关系探讨导数在求极限中的应用和作用。常见函数的导数总结常见函数的导数公式及其在求极限中的应用。导数求极限的步骤梳理导数求极限的步骤，并举出一些常见的例子。学习总结导数求极限的步骤先求出导数，然后将极限值代入导数表达