2025高考数学3类导数综合问题解题技巧（解析版）.pdf

题型053类导数综合问题解题技巧

端（点效应（必要性探索）、洛必达法则、拉格朗日中定理）

技法01用端点效应（必要性探索）的解题技巧

侈题蛆裱

在导数相关的题目中，我们经常遇到恒成立问题，特别是涉及参数的不等式恒成立时求参数的取范

围问题，已成为热点和重点题型。解决这类问题的方法多种多样，常见的方法包括：

①分离参数全（分离或半分离）+函数最；

②直接或（移项转化）求导+分类讨论.

但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或函数最点无法取

到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在

某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。

基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是

当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓

住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获

得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.

端点效应的类型

1.如果函数/(%)在区间a［,切上,/(X)0恒成立，则/(a)20或/(Z?)0.

2.如果函数/(%)在区问a［,切上,/(幻0恒成立，且/(a)=0(或f也)=。),则/(«)0(或f\b)0).

3.如果函数/(%)在区间a［,切上，/(x)20恒成立，且/(a)=0(a)=0(或/(勿=0,⑼0)则

/,(«)0(或/3)40).

技彼运用

若xlnx-2Mx(x-l)+e*T-xNO对X/xNl恒成立，则实数m的取范围是.

思路详解：因为xlnx—2m¥(x-l)+e*T—%之。对V%21恒成立,

eT_

即In尤一2m(x—l)+—--120对也21恒成立，

X-1

ifi/(x)=lnx-2m(x-l)d1,xe[1,+oo^,

因为/■(1)=0,/(%)20欲在工目1,+8)恒成立，则/■(%)要在xel［,+e)单调递增

即/(工)」-2租+右’(：T)N0在xel［,+e)恒成立,则/⑴=1一2〃计\0,解得机

xx2

再明充分性，当机(；,能否有xlnx-2mx(x-l)+e*T-％之。对也之1恒成立(明略)

综上可得加V」，即机e-004

2

cinY

,支式1(2023•全国•统考高考真题)己知函数〃x)s--

(1)当a=8时，讨论了⑴的单调性;

⑵若/(尤)sin2x恒成立，求a的取值范围.

思路详解：【法一】端点效应一

令g(x)=/(x)-sin2x,xe[o，mJ得g(0)=0,且g(x)0