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第五章量子力学的表象与表示

§5.1幺正变换和反幺正变换

1,幺正算符定义

对任意两个波函数ϕv、ψv，定义内积

(r)(r)

vvv

=∗(5.1)

ϕψϕψ

(,)∫(r)(r)dr

按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态ψ()rv时，找

到粒子处在状态ϕ()rv的几率幅。依据内积概念，可以定义幺正算符如

下：

$

“对任意两个波函数、，如果算符恒使下式成立

ϕψU

ˆˆ(5.2)

ϕψϕψ

(U,U)=(,)

1

ˆ存在，使得ˆˆˆˆˆ

而且有逆算符−1−1−1，称这个算符为幺正算

UUU=UU=IU

符。”

ˆˆˆ

++

任一算符的厄米算符定义为：在任意、中的矩阵元恒由

AAAϕψ

下式左边决定

ˆˆ+(5.3)

A=A

ϕψϕψ

(,)(,)

ˆ

由此，幺正算符有另一个等价的定义：

U

ˆ

“算符为幺正算符的充要条件是

U

ˆˆ+ˆ+ˆ(5.4a)

UU=UU=I

或者说

ˆ+ˆ−1。”(5.4b)

U=U

证明：若ˆˆ成立，则按ˆ+定义，

ϕψϕψ

(U,U=U

)(,)

ˆˆˆˆ