量子力学讲义第五章.doc

第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为(的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： ， 与经典力学中一样，角动量也是守恒量，即 ；； 构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)： 上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。 取(为共同本征态，即： 是共同本征态：， 分离变量： 径向方程可写为：， (1) 为求解径向方程，引入变换：； 径向方程简化为： (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或(l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。 在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr， 二、 径向波函数在r(0邻域的渐近行为： 假定V(r)满足： 薛定谔方程在邻域表示为： ； (3) 在正则奇点r=0邻域，设，代入(3)式，得： ； ( 解出：，或， 即当r(0时,或 根据波函数平方可积条件，因此要求：r(0时，的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解满足 三、两体问题化为单体问题 两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为： (5) ET为体系的总能量。引入质心坐标和相对坐标 可以证明 其中——体系的总质量，——约化质量或折合质量 ，（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商） 二粒子体系的能量本征方程(5)化为： (6) 此方程可分离变量，令 代入(6)式，得 (7) (8) 式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。 式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。 §5.4 氢原子 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点） 这是一个两体问题。 按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程： (1) 及边条件 式中(为电子的约化质量，，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在计算过程中令，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。 (1) r=0,(是微分方程的两个奇点。 r(0时，；，或 只有(0是满足要求的，所以r(0， r((时，，考虑束缚态，E0 ，，考虑到平方可积性，； 试探解为：，代入径向薛定谔方程，并化简： 变量变换：， 得到：（合流超几何方程） 即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式： ， 参数：，； 解的一般形式：， ， (((时，，无穷级数解：发散（可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，即可满足中断条件； 即：， ， ，， 即：，； 一、氢原子的能级 氢原子的能量本征值：， (2) 玻尔半径：，主量子数：n， 二、氢原子的波函数 与En相应的径向波函数可表示为 归一化的径向波函数为 ， 氢原子的束缚态能量本征函数为 ；；。 定态波函数是氢原子体系、和的共同本征函数。 能级简并度 电子的能级只与主量子数有关，而波函数却与三个量子数，，有关，因此能级是简并的（除外）。给定，可能共个；给定，可取共个。因此，对应于第个能级的波函数就有 个，也就是说，电子的第个能级是度简并的。 例1、设氢原子