昆明理工大学多元函数微分学复习.doc
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多元函数微分学章节复习
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本章教学要求：
1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。
2．熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。
3．熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。
4．能熟练地求全微分。
5．了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。
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例题讲解：
一、填空题
1．函数 的定义域是___________________________。
2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。
3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。
4．二元函数 的定义域是________________________。
5．设 ，则dz＝________________。
6．设z＝(1＋xy)x，则 ＝_____________。
7．设f(x，y)＝ln(x＋exy)，则 ＝________________。
8．函数 的定义域是________________________。
9．函数 的定义域是________________________。
10．设z＝f(u，v)，u＝xy， ，则 ＝________________。
11．设ez－xyz＝0，则 ＝________________。
分析与解答：
1．函数 的定义域是___________________________。
1．要使函数有意义，必须： ，
即
因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；x2＋y2≠1，| y |≤| x |，x≠0}
2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。
2．令 ，则 ，
即有 ，
故
3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。
3． ， ， 故
4．二元函数 的定义域是________________________。
4．要使函数有意义，必须： ，即
因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；－2≤x＋y≤2，x－y＞0，x－y≠1}
5．设 ，则dz＝________________。
5． ， ，
故
6．设z＝(1＋xy)x，则 ＝_____________。
6．相对y 来说，x 是常数，故z 可以分解为：z＝ux，u＝1＋xy，则
7．设f(x，y)＝ln(x＋exy)，则 ＝________________。
7．
8．函数 的定义域是________________________。
8．要使函数有意义，必须： ，即定义域为：{(x，y)；y＞0，x＋y＞0}
9．函数 的定义域是________________________。
9．要使函数有意义，必须： ，即
故该函数的定义域为：{(x，y)；x＋y＞0，x2＋y2＜1＝
10．设z＝f(u，v)，u＝xy， ，则 ＝________________。
10．
11．设ez－xyz＝0，则 ＝________________。
11．设 ，
则 ， ， 故
二、单项选择题
1．设z＝(2x＋1)3y＋2，则 （ ）。
A. (3y＋2)(2x＋1)3y＋1 B. 2(3y＋2)(2x＋1)3y＋1
C. (2x＋1)3y＋2ln(2x＋1) D. 3(2x＋1)3y＋2ln(2x＋1)
2．设z＝ln(x＋y)，则 （ ）。
A. －dx＋dy B. dx＋dy? C. dx－dy D. －dx－dy
3．设 ，则 （ ）。
A. B.
C. D.
4．下列说法正确的是（ ）。
A. 可微函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有
B. 函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有
C. 若 ，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值
D. 若 或 有一个不存在，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值
5．设z＝uv，x＝u＋v，y＝u－v，若把 z 看作x，y的函数，则 （ ）。
A. B. C. 2x D. x
分析与解答：
1．对y来说，z是y的指数函数，可分解为：z＝(2x＋1)u，u＝3y＋2，由复合函数求导法则，得 ，
即D正确。
2． ，
，
即B正确。
3．，即D正确。
4．函数取得极值的点可能是不可导点，因此B不正确；驻点未必是极值点，因此C也不正确；偏导数是否存在，与函数不取
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