高考备考资料之数学人教B版全国用讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ28.docx
§2.8函数与方程
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
1．函数的零点
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系
Δ0
Δ＝0
Δ0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
知识拓展
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
2．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.(×)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．(√)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．(√)
题组二教材改编
2．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞)
答案B
解析∵f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)0
且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，
∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．
答案1
解析由已知得f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．
4．函数f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零点个数为________．
答案1
解析作函数y1＝和y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象如图所示，
由图象知函数f(x)有1个零点．
题组三易错自纠
5．已知函数f(x)＝x－eq\r(x)(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则()
A．x1x2x3 B．x2x1x3
C．x2x3x1 D．x3x1x2
答案C
解析作出y＝x与y1＝eq\r(x)，y2＝－ex，y3＝－lnx的图象如图所示，可知选C.
6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x1，))则函数f(x)有______个零点．
答案1
解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，又因为x1，所以此时方程无解．综上函数f(x)只有1个零点．
7．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))
解析∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得
f(－1)f(1)0，
∴(－3a＋1)·(1－a)0，
解得eq\f(1,3)a1，
∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).
题型一函数零点所在区间的判定
1．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D