数学高考备考讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ24.docx
§2.4幂函数与二次函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
3.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.会解一元二次不等式.
以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称
知识拓展
1.幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时恒有f(x)0，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).(×)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.(×)
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(√)
(4)函数y＝是幂函数.(×)
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(√)
(6)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.(×)
题组二教材改编
2.[P79T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()
A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.2
答案C
解析由幂函数的定义，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))
∴k＝1，α＝eq\f(1,2).∴k＋α＝eq\f(3,2).
3.[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()
A.a≥3 B.a≤3
C.a＜－3 D.a≤－3
答案D
解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3