陪集与拉格朗日定理.ppt

证设|G|=p，p是素数.由p≥2知G中必存在非单位元.任取a∈G，a≠e，则a是G的子群.根据拉格朗日定理，a的阶是p的因子，即a的阶是p或1.显然a的阶不是1，这就推出G=a04证任取a∈G，a是G的子群，a的阶是n的因子.是由a生成的子群，若|a|=r，则

a={a0=e,a1,a2,…,ar?1}即a的阶与|a|相等,所以|a|是n的因子.从而an=e.03推论1设G是n阶群，则?a∈G，|a|是n的因子，且有an=e.01推论2对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G=a.02拉格朗日定理的应用实例命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群.?证设a为G中任意元素，有a?1=a.任取x,y∈G，则xy=(xy)?1=y?1x?1=yx，

因此G是Abel群.证1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群.12,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群.都是Abel群.2设G是4阶群.3若G中含有4阶元，比如说a，则G=a.4由上述分析可知G是Abel群.5若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元.6由命题可知G也是Abel群.7例证明阶小于6的群都是Abel群.熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该定理解决简单的问题2熟悉陪集的定义和性质1本节内容及要求正规子群的定义正规子群的实例一、正规子群的定义与实例商群定义及其实例商群的求解三、商群010302正规子群的判定定理正规子群的判别实例二、正规子群的判别法第五节正规子群与商群第五节正规子群与商群一、正规子群的定义与实例1．正规子群的定义定义11.10设H是群G的子群.如果?a∈G都有Ha=aH，则称H是G的正规子群，记作H?G.

任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和{e}，都是G的正规子群.如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群.?2．正规子群的实例例设A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的双射函数.其中f1={1,1,2,2,3,3},f2={1,2,2,1,3,3}

f3={1,3,2,2,3,1},f4={1,1,2,3,3,2}

f5={1,2,2,3,3,1},f6={1,3,2,1,3,2}令G={f1,f2,…,f6}，则G关于函数的复合运算构成群.G的全体子群是：H1={f1},H2={f1,f2},H3={f1,f3}，H4={f1,f4},H5={f1,f5,f6},H6=GH1,H5和H6是G的正规子群，而H2,H3和H4不是正规子群.正规子群的判定定理01定理11.13设N是群G的子群，N?G??g∈G,?n∈N有gng?1∈N.02定理11.14设N是群G的子群，03N?G??g∈G有gNg?1=N04二、正规子群的判别法2．正规子群的判别实例例设N?G，若G的其他子群都不与N等势，则N?G.

证任取g∈G，易证gNg?1是G的子群，下面证N≈gNg?1.?n∈N，令f(n)=gng?1，则f：N?gNg?1.f(n1)=f(n2)?gn1g?1=gn2g?1?n1=n2，即f是单射.?gng?1∈gNg?1，?n∈N，f(n)=gng?1，f是满射.从而N≈gNg?1.根据已知条件，必有gNg?1=N.所以N?G.商群定义及其实例G/N={Ng|g∈G}Na?Nb=Nab商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即在G/N上定义二元运算?如下：对于任意的Na,Nb∈G/N，可以证明G/N关于?运算构成一个群，称为G的商群.010305020406三、商群例设Z,+是整数加群,令

3Z={3z|z∈Z}则3Z是Z的正规子群.Z关于3Z的商群

Z/3Z={[0],[1],[2]}

其中[i]={3z+i|z∈Z}，i=0,1,2

且Z/3Z中的运算如下表所示.2.商群的求解例题．设Z18,?为模18加群，求商群Z18/4,3/9.解：4={0,4,8,12,16,2,6,10,14}.={0