2025年高考数学必刷题分类：第36讲、平面向量的数量积及运算（学生版）.pdf

第讲平面向量的数量积及运算

36

知识梳理

知识点一．平面向量的数量积a

（1）平面向量数量积的定义





ab|a||b|cosab

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记





作ab，即ab|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

b

①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；

|a|cosa



当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．

ababb

②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．

a|a|a|b|cos





a,e

③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，

bb





ABa,CDbCD

，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，

ABABA,B

11



bb

aa

得到AB，我们称上述变换为向量向向量投影，AB叫做向量在向量上的投影向

1111

量．记为．

|a|cose

知识点二．数量积的运算律

b

已知向量、、和实数，则：

a