武汉大学《高等数学》1.3 函数的极限.ppt

第三节 一、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 例3. 证明 例4. 证明: 当 2. 保号性定理 推论: 定理 2 . 若在 3. 左极限与右极限 例5. 设函数 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 例6. 证明 两种特殊情况 : * 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 1. 时函数极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 若 记作 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 . 若 且 A 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 ) (P37定理3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若取 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时, 有 (P37 推论) 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 3 . ( P38 题8 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 . 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *