武汉大学高等数学W D1_2数列的极限.ppt

* * 运行时点击 “刘徽割圆术” , 或刘徽按钮 , 可放映刘徽简介 * * 若不讲“柯西准则”, 则点击“内容小结”按钮, 继续其它内容 * 运行时点击相片或柯西按钮, 可出现柯西简介 第一章 二 、数列极限的性质 三 、数列极限的四则运算法则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 四 、极限存在准则 数学语言描述: 一 、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、数列极限的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 子数列定义 P16 思考题 子数列: 在 中任取无限多项并保持这些项在 原数列中的先后次序而得到的新数列,称为原数列 的一个子数列. ********************* 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 发散 ! 则原数列一定发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Remarks 三、 数列极限的四则运算法则 定理 若 则有 解: 原式 例 P25 例2.7 （3）（4） P25 思考题 13，14，15，16 四、极限存在准则 夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 夹逼准则 Squeeze Theorem (准则1) 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 证明 证: 利用夹逼准则 . 且 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P26 例