武汉大学与高等数学W D18 闭区间上连续函数性质 .ppt

第八节 一、最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 例2. 设 P70 题6. 证明: 若 *三. 一致连续性 例如, 内容小结 思考与练习 一、有界性与最大最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、零点定理和介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则 上连续 , 且恒为正 , 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 则给定 当 时, 有 又 根据有界性定理, , 使 取 则 在 内连续, 存在, 则 必在 内有界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 证明 讨论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由零点定理知, 综上, 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 但不一致连续 . 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理. 上一致连续. Cantor定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P70 A类： 1；3；5 B类：3；4