吉林大学（王萍）控制工程 第三章_时域分析法.ppt

第三章 时域分析法 3-1 典型输入信号 3-2 线性定常系统的时域响应 3-3 控制系统时域响应的性能指标 3-4 一阶系统的暂态响应 3.5 二阶系统的暂态响应 3-8 线性系统的稳定性 3-9 劳斯—赫尔维茨判据 三、代数判据的应用 3-10 小参量对闭环系统性能的影响 3-11 控制系统的稳态误差一、误差及稳态误差的定义 [例]： 1 6 8 1 6 8 辅助方程为： 求导得： 用1，3，0代替全零行即可。 或 因为第一列元素都大于零，所以系统是稳定的。 第一列元素都大于零，说明s右半平面没有闭环极点。但出现了全零行，表明系统有共轭虚数极点。 [例]： 辅助方程为： 此时系统是临界稳定的。 控制工程上认为是不稳定的。 系统的共轭虚数极点可由辅助方程求出。 解得： 设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表 s0 s1 s2 s3 s4 5 1 7 5 6 1 1 6 6 0 1 劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根? ② 由零行的上一行构成 辅助方程: ① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 s2+1=0 对其求导得零行系数: 2s1 2 1 1 继续计算劳斯表 1 第一列全大于零,所以系统稳定 错啦!!! 劳斯表出现零行系统一定不稳定 求解辅助方程得: s1,2=±j 由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3 设系统的特征方程式为： 则系统稳定的充要条件是： ，且由特征方程系数构成的赫尔维茨行列式的主子行列式全部为正。 古尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 ，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次减小，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次增加。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。 赫尔维茨行列式： 二、赫尔维茨判据 以4阶系统为例使用赫尔维茨判据： 赫尔维茨行列式为： 稳定的充要条件是： 判定控制系统的稳定性 例： 系统的特征方程为： ，判断系统的稳定性。 [解]：劳斯表如下： 因为 ，但劳斯表第一列不全为正，所以，系统不稳定。 由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用代数稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数 K，则使系统稳定的最大K 称为临界放大系数KL 。 例：已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。 解：闭环传递函数为： 特征方程为： 劳斯表： 要使系统稳定，必须 ①系数皆大于0， ②劳斯阵第一列皆大于0 所以，临界放大系数 特征方程为： 确定系统的相对稳定性（稳定裕量） 利用劳斯和赫尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。 确定系统的相对稳定性（稳定裕量） 利用实部最大的特征方程的根 p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。 作 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有 的稳定裕度。一般说， 越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以 z 为变量的新的特征方程，用劳斯-赫尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有 的稳定裕度。 例：系统特征方程为： 。 行全为零，以它上面的行组成辅助方程 。对辅助方程求导，用其系数代替 行，其系数为1。 有一对共轭虚根，所以系统的稳定裕量恰为1。 用劳斯判据可知它是稳定的。判断它是否具有稳定裕量 a =1。 令 则： 1 2 小参量：一般指在系统中相对于那些数值大的时间常数而言的小时间常数。 例如：处理高阶系统时，根据闭环主导极点的概念，可将高阶系统视为二阶系统。 研究小参量处理问题的目的和意义： 简化数学模型、使系统的阶次降低 小参量处理问题：在某种前提条件下，用各种方法，或将其忽略不计，或将其做变通处理，使数学模型降阶或简化成易于应用线性系统理论的近似形式。 一、将小参量忽略不计使模型降阶的分析 1、对于开环系统忽略小参量只需考虑系统的时间常数的数值相对大小这一条件即可。 例如：开环系统的传递函数为 2、对于闭环系统忽略小参量不仅需考虑系统的时间常数的数值相对大小，而且还必须考虑系统的开环放大系数（或开环增益）。