计算方法-分段线性-三次样条插值.ppt

1）插值条件(n+1个节点) 满足条件： 2）连接条件(3n-3个节点) 上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此还需要2个条件才能确定S(x)。 x x0 x2 x5 x1 x4 x3 x6 … 不包括端点a, b … 类型1：给定两端点f(x)的一阶导数值： 常用边界条件的三种类型(略去了第3种) 类型2：给定两端点f(x)的二阶导数值： 通常在区间端点 上各加一个条件,称为边界条件。 特别地, 称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。 这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，则得出4n个方程，可以唯一确定4n个系数。 从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间?xi , xi+1?上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。 但是，这种做法当n较大时，计算工作量很大，不便于实际应用。 希望找到一种方便计算机计算简单的构造方法-显式方法。 2.5.2 三次样条插值函数的求法 记： 经推导(略)，得 到如右的在每个 小区间上的三次 样条插值函数的 显式表达式。 (5.32) … 注意：这里有n个区间，n+1个节点，需要确定 这n+1个值。 … 只要确定 这n+1个值, 就可定出三样条插值函数S(x)。 … 经过艰苦的推导，得到如下的确定 的方程组。 … (5.36) 即 其中 （5.35） … 这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定 的值还需要补充两个条件, 这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间?a, b?的两个端点处的边界条件来补充。 … 第一边界条件： 则确定 的线性方程组为： (5.39) 三对角线方程组 … … … … 用到边界条件 … 第二边界条件: 取 (5.40) 则确定 的线性方程组为： 三对角线方程组 … … … … … 例2.20 已知的函数值如下： 在区间?1,5?上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件 解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定 (4个节点，4个未知数) 的方程 组形如（5.40）所示， xi 1 2 4 5 f(xi) 1 3 4 2 x x0 =1 x1 =2 x2 =4 x3 =5 由已知边界条件,有 则得求解 的方程组为 只需根据给定数据计算出： 则得方程组 解得： 代入式(5.32)即得 在[x0, x1 ]上: i=1 (5.32) 将 代入上式，得： 在[x1, x2 ]上: i=2 在[x2, x3 ]上: i=3 故所求的三次样条插值函数S(x)在区间[1, 5] 上的表达式为 练习：使用MATLAB画出如上的曲线。 在这两个区间表达式是一样的 三次样条插值的误差界与收敛性（仅对充分光滑的f(x)成立） 特别，当k=0的时候： … 例2.21 f(x)=lnx，将[0.5, 3]分为5个等分区间，在每个区间上进行三次样条插值。估计利用三次样条插值的误差。 解：误差估计 f(4)(x)=-6/x4 max|f(x)-S(x)| = 5/384max|6/x4|*0.54 = 5/384*(6/0.5-4)*0.54 =0.078125 课堂练习：将[0.5, 3]分为10个等分区间，估计进行三次样条插值时候的误差。 0.5=x=3 用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时， 其函数值在整体上能很好地逼近被插函数， 相应的导数值也收敛于被插函数的导数， 不会发生龙格现象。 因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。 三次样条插值总结： 作业： P48: 6 P49: 20 本章小结 本章介绍的插值法是实用