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微分方程

微分方程是有函数及其一个或以上的导数的方程：

微分方程

（导数）

y+dy5x

dx

dy

例子：这个方程有函数y和它的导数dx

解

解微分方程的意思是求函数y（或函数y的集合）。

有很多技巧可以用来解微分方程（如有解的话！）。但首先我们要知道：为什么？

微分方程有什么用？

在这个世界上，事物不停变动，而微分方程往往就是形容这些变动的好方法：

例子：兔子！

越多兔子就会越多小兔，小兔长大后又会生小兔。这样，兔子的数量会增长得越来越

快！

重要的资料是：

在任何时间t时兔子的数量N

增长率r

数量变化率N

我们假设一些值：

数量N是：1000

增长率r是：每只现有兔子每星期产生0.01只新兔子

数量变化率N便是每星期1000×0.01=10只新兔子。

但这只是在一个特定的时间，而没有考虑到兔子数量是在连续不断地增加。

记着：数量越大，新兔子越多！

所以应该说变化率（在任何时间）是增长率乘以在那一刻的数量：

dN

=rN

dt

这是个微分方程，因为他有函数N(t)和它的导数。

数学是不是很棒？这个短短的方程已可以表达了长长的一句数量对于时间的变化率等于增长率乘以数量。

微分方程可以形容人口变化、热量移动、弹簧震动、放射性物体衰变及很多其他现象。微分方程是形容宇宙里很多事物的正常

并合理的方法。

怎样应用微分方程？

微分方程是表达事物的好方法，但用起来并不容易。

所以我们在解微分方程时，尝试把微分方程转变为比较简单的代数式方程（没有微分）。这样我们便可以计算、画图、预测、

等等。

例子：复利

钱赚利息。利息可以在固定时间计算，例如每年、每月等等，然后加在余额上。

这叫复利。

但若复利是连续计算的，在每一刻利息都会按比例加在当时的余额上。

余额越大，利息越多。

以t为时间、r为利率、V为当前的余额：

dV

=rV

dt

有趣的是，这和上面兔子的数量是同一个方程！只不过字母不同。数学告诉我们这两个现象的特性是一样的。

解

微分方程是形容事物的好方法，但用起来就不太容易。

但这个微分方程是可以解的，（例如用分离变量法），结果是：

V=Pert

在这里，P是本金（原来的投资或贷款）。

所以一个连续复利，年期2年，年利率10%的￥1,000贷款在两年后的余额是：

V=1000×e(2×0.1)

V=1000×1.22140...