大学《线性代数》第2版(清华大学居余马)课后习题详细答案较完整.doc

线性代数课后习题答案 第2版 清华大学出版社 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、公式： 解： 11、 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式 15、 16、 17、根据课本20页公式（1.22） 18、， 所以 19、证： 20、 21、 22、解法1： 整理得 又根据范德蒙行列式有： 故原式得证。 解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式 解答：构建新的4阶范德蒙行列式： 按第4行展开得： (1) 其中，， 按范德蒙行列式结论得： (2) 式子(1)和(2)对比，可得 可以看出，，即，得证. 23、 24、 25、 26、 27、 28、 29、阶范德蒙行列式的计算和阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将阶范德蒙行列式的换成。 本题中，根据范德蒙行列式的计算公式知， 原式 30、观察发现，第行可提出公因子，。所以 原式为阶范德蒙行列式， 由公式得 原式 又 所以，原式 31、系数行列式 所以，，，， 32、系数行列式 所以，，，，， 33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式，即 所以， 34、设直线方程，由于直线过点，所以，。问题转化为求齐次线性方程组中不同时为零的满足的条件。因此根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式等于0，可得 35、由已知条件，得 其系数行列式 所以，，，， 所以， 补充题： 36、 (1) 证：记. 当时，左，右，左=右，等式成立。 设时等式成立，即 当时， 所以，结论成立。 (2) 略. (3) 由(1)中过程可得，所以 (4) 一般解法： 37、解法1：证明由性质3，得 左边=， 将的第1列乘以加到第2列，再将第2列乘以加到第3列，….，将第列乘以加到第列，得 所以左边==右边。 解法2：注意到，按第一列展开，得 依此类推 38、解法1： 解法2：按最后一行展开（思路类似于37题解法2） 39、记，按第列展开，则 证法1（归纳法）： 当时，右，等式成立； 假设当时，等式成立，则； 当时， 得证。 证法2（递推公式法）： ① 根据式①有 即 ② 根据式①有 即 ③ 令，则②式化为 令，则③式化为 所以， 所以， 所以，. 40、 41、 42、 解法1：将第1行乘以-1加到其余各行，得 原式= 再将第2列乘以，第3列乘以，…，第n列乘以均加到第1列，得 原式 解法2：记 所以， 43、 解法1：各行元素之和均为，把各列元素加到第1列，得 从最后一行起，依次减前一行，得 第一行乘以-1加到其它行，得 再将各列加到最后一列，得 44、将该行列式添一行，并加一列，使之成为n+1阶范德蒙行列式，即 （1） （2） 由（1）式可见，将（1）式按最后一列展开，其的系数就是原行列式的值乘以-1；又由（2）式可见，的系数为. 所以原行列式的值为 45、证明（用数学归纳法）导数关系式 ⑴ 证明：将记作；记作. 对行列式的阶数作数学归纳法证明。当时，有，，所以等式显然成立； 假设(1)式对阶行列式成立，下面证明(1)式对阶也成立时，记，导数记作， 则有 ， 故 ⑵ 其中 ⑶ 又归纳假设得 ⑷ 综上得，⑵式右端= ⑶式+⑷式=⑴式右端。所以对任意的阶行列式求导数都等于(1)式中的个行列式之和。 46、分析：圆的标准方程为 ， 则可设圆的一般方程为，其中。 点的坐标满足该方程，则有 又因为，则上方程组中的未知量有非零解，其充分必要条件为系数行列式等于零，即 这就是圆上动点所满足的方程。 47、设平面直角坐标系中直线的一般方程为 (1) 三个点位于该直线上时，其点的坐标满足方程，即 (2) 方程(1)中的不全为零，因此关于的齐次线性方程组(2)有非零解。所以3个点位于同一直线上（即3点共线）等价于方程组(2)有非零解。 由克莱姆法则知，由个方程构成的元齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，齐次方程组只有全为零的解，这等价于齐次线性方程组有非零解时其系数行列式必须等于零，这里就是 48、设平面