第五章 培优点5 平面向量奔驰定理与三角形四心问题.docx
培优点5平面向量奔驰定理与三角形四心问题
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.点P在△ABC内部，满足PA+2PB+3PC=0，则S△ABC∶S△APC为()
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
2.已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0，|OA|=|OB|=|OC|，AH·BH=BH·CH=CH·AH，则点G，O，H依次为△ABC的()
A.重心、外心、内心 B.重心、内心、外心
C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心
3.已知G是△ABC的重心，若GC=xAB+yAC，x，y∈R，则x+y等于()
A.-1 B.1 C.13 D.-
4.设O是平面α内一定点，A，B，C是平面α内不共线的三点，平面α内的动点P满足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，λ∈[0，
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
5.已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，则S△ABC∶S
A.14∶3 B.19∶4
C.24∶5 D.29∶6
6.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则cos∠ACB等于()
A.31010
C.255
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若O，P是锐角△ABC内的点，A，B，C是△ABC的三个内角，且满足PA+PB+PC=13CA，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则(
A.S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶3∶2
B.∠A+∠BOC=π
C.|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosC
D.tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0
8.设锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，角A，B，C是△ABC的三个内角，且12cosAOA+cosBsinCAB+cosC
A.π12 B.π6 C.π3
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知P为△ABC的外心，角A，B，C是△ABC的三个内角，且PA+PB=λPC，tanC=125，则实数λ的值为.
10.已知I为△ABC的内心，且5IA=4(BI+CI).记R，r分别为△ABC的外接圆、内切圆的半径，若r=15，则R=.?
答案精析
1.C[根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC=3∶1.]
2.C[因为GA+GB+GC=0，所以GA+GB=-GC，
设AB的中点为D，则GA+GB=2GD，
所以-GC=2GD，
所以C，G，D三点共线，即G为△ABC的中线CD上的点，
且GC=2GD，
所以G为△ABC的重心；
因为|OA|=|OB|=|OC|，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心；
因为AH·BH=BH·CH=CH·AH，所以BH·(AH-CH)=0，即HB·AC=0，
所以HB⊥AC，同理可得HA⊥BC，HC⊥AB，所以H为△ABC的垂心.]
3.C[由GC=xAB+yAC，可得GC=x(GB-GA)+y(GC-GA)，
即(x+y)GA-xGB+(1-y)GC=0.
因为G是△ABC的重心，
所以x+y=-x=1-y，
解得x=-13，y=2
则x+y=13.
4.C[OP·BC=OA·BC+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC·BC=OA·BC+λ
则OP·BC-OA·BC=0，
即AP·BC=0，故AP⊥BC，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心.]
5.B[由QR=13QB可得PR
=13(PB
整理可得PR=13PB
=13PB+
由RP=13RC可得RP=13
整理可得PR=-12
所以-12PC=13
整理得4PA+6PB+9PC=0，
由奔驰定理可得
S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4
=19∶4.]
6.B[由题意知，△ABC为锐角三角形，如图，延长CO交AB于点P，
∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，
设△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S1，S2，S3，
∴S1∶S2=12·OC·BP
=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)
=tan∠COB∶tan∠COA
=tan(π-∠BAC)∶tan(π-∠ABC)=tan∠BAC∶tan∠ABC，
同理可得S1∶S3=tan∠BAC∶tan∠ACB，
∴S1∶S2∶S3=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.
由奔驰定理可知，S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，
∴tan∠BAC·OA+tan∠ABC·OB+tan∠ACB·OC=0.
又OA+2OB+3OC=0，
∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.