第4节　函数的对称性.docx

第4节函数的对称性

【课标要求】（1）能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论；（2）会利用对称公式解决问题.

知识点一轴对称

1.偶函数关于y轴对称.

2.若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

3.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（1）已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f（x）＝－x，则f（－16）＝（B）

A.1 B.2

C.3 D.4

（2）（2025·玉溪统考）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x＋3）是偶函数，当x≥3时，f（x）＝log2x，则不等式f（2x＋2）＞f（x－1）的解集为{x｜x＜－3或x＞53}

解析：（1）根据题意，函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，则有f（x）＝f（6－x），又由函数为奇函数，则f（－x）＝－f（x），则f（x）＝－f（－x）＝－f（6＋x）＝f（x＋12），则f（x）的最小正周期是12，故f（－16）＝f（－4）＝－f（4）＝－f（2）＝－（－2）＝2.

（2）∵y＝f（x＋3）是偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝3对称.∵当x≥3时，f（x）＝log2x，∴f（x）在[3，＋∞）上单调递增，∴｜2x＋2－3｜＞｜x－1－3｜，即｜2x－1｜＞｜x－4｜，∴（2x－1）2＞（x－4）2，即3x2＋4x－15＞0，解得x＜－3或x＞53

规律方法

1.函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称?f（x）＝f（2a－x）?f（a－x）＝f（a＋x）.

2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b

练1（1）（苏教必修一P126习题4题改编）函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程为（C）

A.x＝－12 B.x＝

C.x＝12 D.x＝

解析：（1）内层函数t＝｜2x—1｜的对称轴是直线x＝12，所以函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程是x＝1

（2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），若函数y＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则所有交点的横坐标之和为（C）

A.0 B.m

C.2m D.4m

解析：（2）依题意，函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称.函数y＝｜x2－4x－5｜的图象也关于直线x＝2对称，所以若函数y＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则x1＋x2＋…＋xm＝4×m2＝2m

知识点二中心对称

1.奇函数关于原点对称.

2.若f（x＋a）是奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心为（a，0）.

3.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称.

（1）〔多选〕（人A必修一P85思考改编）下列说法中正确的是（ABC）

A.函数f（x）＝2x－1x+2的图象关于点（－

B.函数f（x）满足f（2x－1）为奇函数，则函数f（x）关于点（－1，0）中心对称

C.若函数y＝f（x）过定点（0，1），则函数y＝f（x－1）＋1过定点（1，2）

D.函数y＝x－1x－b的图象关于点（3，c）中心对称，则

（2）（2025·扬州模拟）已知定义域为R的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）为奇函数，则使得不等式f（x2－x）＜f（2－2x）成立的实数x的取值范围是（D）

A.（－1，2） B.（－∞，－1）∪（2，＋∞）

C.（－2，1） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

解析：（1）对于A，f（x）＝2x－1x+2＝2（x+2)-5x+2＝2－5x+2，其图象可以由y＝－5x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－5x的图象关于原点对称，故f（x）＝2x－1x+2的图象关于点（－2，2）中心对称，A正确；对于B，因为f（2x－1）为奇函数，所以f（2x－1）＝－f（－2x－1），所以f（x－1）＝－f（－x－1），所以f（x）＝－f（－x－2），所以函数f（x）关于点（－1，0）中心对称，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）＋1的图象，由于y＝f（x）过定点（0，1），故函数y＝f（x－1）＋1过定点（1，2），C正确；对于D，函数y＝x－1x－b＝（x－b）＋b－1x

（2）因为f（x＋1）为奇函数，所以f（x）