浅谈的函数对称性.doc

浅谈的函数对称性 张兴红 函数是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的对称性是函数的一个基本性质，是高考考查的重点内容。现在就函数的对称性性质作如下介绍： 一、函数的图像关于点对称 例1求证：函数的图像关于点P 对称的充要条件是 证明：（必要性）设点 是图像上任一点，∵点关于点P 的对称点也在图像上，∴ 即故. （充分性）设点是图像上任一点，则 ∵∴，即 故点也在 图像上，而点P与点 ‘关于点P 对称. 结论：函数的图像关于原点O对称的充要条件是. 二、函数的图像关于直线对称 例2. 函数的图像关于直线对称的充要条件是 即 必要性： 函数的图像关于直线对称 的图像上任意一点A关于 的对称点 令f a+t f 2a- a+t f a-t 对任意都成立 充分性：对定义域内的任意，都有成立 对图像上任一点令点关于的对称点 也在的图像上 y sin x kπ, 0 x kπ+π/2 y cos x kπ+π/2 ,0 x kπ y tan x kπ/2 ,0 无 ∴ 函数的图像关于直线对称 综上：函数f x 的图像关于直线对称的充要的条件是 对定义域内的任意都有成立。的图像关于y轴对称的充要条件是 函数的图像与的图像关于直线 成轴对称 例3. ①若函数y f x 图像同时关于点A a ,c 和点B b ,c 成中心对称（a≠b），则y f x 是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y f x 图像同时关于直线x a 和直线x b成轴对称 （a≠b），则y f x 是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y f x 图像既关于点A a ,c 成中心对称又关于直线x b成轴对称（a≠b），则y f x 是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y f x 图像既关于点A a ,c 成中心对称， ∴f x + f 2a－x 2c，用2b－x代x得： f 2b－x + f [2a－ 2b－x ] 2c………………（*） 又∵函数y f x 图像直线x b成轴对称， ∴ f 2b－x f x 代入（*）得： f x 2c－f [2 a－b + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2 a－b + x] 2c－f [4 a－b + x]代入（**）得： f x f [4 a－b + x],故y f x 是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 三、三角函数图像的对称性列表 注：①上表中k∈Z ②y tan x的所有对称中心坐标应该是 kπ/2 ,0 ， 四、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f 10+x 为偶函数，且f 5－x f 5+x ,则f x 一定是（ ） A 是偶函数，也是周期函数 B 是偶函数，但不是周期函数 C 是奇函数，也是周期函数 D 是奇函数，但不是周期函数 解：∵f 10+x 为偶函数，∴f 10+x f 10－x . ∴f x 有两条对称轴 x 5与x 10 ，因此f x 是以10为其一个周期的周期函数， ∴x 0即y轴也是f x 的对称轴，因此f x 还是一个偶函数。 故选 A 例2：设定义域为R的函数y f x 、y g x 都有反函数，并且f x－1 和g-1 x－2 函数的图像关于直线y x对称，若g 5 1999，那么f 4 （ ）。 ）1999； B）2000； （C）2001； （D）2002。 y f x－1 和y g-1 x－2 函数的图像关于直线y x对称， ∴y g-1 x－2 反函数是y f x－1 ，而y g-1 x－2 的反函数是:y 2 + g x , ∴f x－1 2 + g x , ∴有f 5－1 2 + g 5 2001 故f 4 2001,应选（C）.设f x 是定义在R上的偶函数，且f 1+x f 1－x ,当－1≤x≤0时， f x －x，则f 8.6 _________ 解：∵f x 是定义在R上的偶函数∴x 0是y f x 对称轴； 又∵f 1+x f 1－x ∴x 1也是y f x 对称轴。故y f x 是以2为周期的周期函数，∴f 8.6 f 8+0.6 f 0.6 f －0.6 0.3 例4.函数 y sin 2x + 的图像的一条对称轴的