函数的周期性与对称性.docx

第5炼函数得对称性与周期性

一、基础知识

(一)函数得对称性

1、对定义域得要求:无论就就是轴对称还就就是中心对称,均要求函数得定义域要关于对称轴(或对称中心)对称

2、轴对称得等价描述:

（1）关于轴对称(当时,恰好就就就是偶函数)

（2）关于轴对称

在已知对称轴得情况下，构造形如得等式只需注意两点,一就就是等式两侧前面得符号相同,且括号内前面得符号相反;二就就是得取值保证为所给对称轴即可。例如:关于轴对称,或得到均可,只就就是在求函数值方面,一侧就就是更为方便

(3)就就是偶函数,则,进而可得到:关于轴对称。

①要注意偶函数就就是指自变量取相反数,函数值相等,所以在中,仅就就是括号中得一部分,偶函数只就就是指其中得取相反数时,函数值相等,即,要与以下得命题区分：

若就就是偶函数,则:就就是偶函数中得占据整个括号，所以就就是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有

②本结论也可通过图像变换来理解,就就是偶函数,则关于轴对称,而可视为平移了个单位(方向由得符号决定),所以关于对称。

在已知对称中心得情况下，构造形如得等式同样需注意两点,一就就是等式两侧和前面得符号均相反;二就就是得取值保证为所给对称中心即可。例如:关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面,一侧就就是更为方便

(3)就就是奇函数,则，进而可得到:关于中心对称。

①要注意奇函数就就是指自变量取相反数,函数值相反,所以在中,仅就就是括号中得一部分,奇函数只就就是指其中得取相反数时,函数值相反,即，要与以下得命题区分:

若就就是奇函数，则:就就是奇函数中得占据整个括号,所以就就是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有

②本结论也可通过图像变换来理解,就就是奇函数,则关于中心对称,而可视为平移了个单位(方向由得符号决定),所以关于对称。

4、对称性得作用：最突出得作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性,则只需要分析一侧得性质,便可得到整个函数得性质,主要体现在以下几点:

(1）可利用对称性求得某些点得函数值

(２)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像

（3)极值点关于对称轴(对称中心)对称

(4）在轴对称函数中,关于对称轴对称得两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称得两个单调区间单调性相同

(二)函数得周期性

１、定义:设得定义域为，若对,存在一个非零常数,有,则称函数就就是一个周期函数,称为得一个周期

2、周期性得理解:可理解为间隔为得自变量函数值相等

3、若就就是一个周期函数,则,那么，即也就就是得一个周期,进而可得：也就就是得一个周期

4、最小正周期:正由第3条所说，也就就是得一个周期，所以在某些周期函数中,往往寻找周期中最小得正数,即称为最小正周期。然而并非所有得周期函数都有最小正周期，比如常值函数

５、函数周期性得判定:

(1):可得为周期函数,其周期

(2)得周期

分析:直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式:

所以有:,即周期

注:遇到此类问题,如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式,进而通过两个等式看能否得出周期

(3)得周期

分析:

(4)(为常数）得周期

分析:，两式相减可得：

(５)(为常数）得周期

(６)双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系,则就就是一个周期函数,具体情况如下:(假设)

①若得图像关于轴对称,则就就是周期函数，周期

分析:关于轴对称

关于轴对称

得周期为

②若得图像关于中心对称，则就就是周期函数,周期

③若得图像关于轴对称,且关于中心对称,则就就是周期函数，周期

7、函数周期性得作用:简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期得性质,则得到整个函数得性质。

（１)函数值:可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值

（２）图像:只要做出一个周期得函数图象,其余部分得图像可利用周期性进行“复制+粘贴”

(３)单调区间:由于间隔得函数图象相同,所以若在上单调增(减),则在上单调增(减)

(4)对称性:如果一个周期为得函数存在一条对称轴（或对称中心),则存在无数条对称轴,其通式为

证明:关于轴对称

函数得周期为

关于轴对称

注:其中(3）(4)在三角函数中应用广泛，可作为检验答案得方法

二、典型例题:

例1:设为定义在上得奇函数,，当时,，则＿＿_＿___＿__

思路:由可得：得周期,考虑将用中得函数值进行表示：,此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调:,所以

答案:

例2:定义域为得函数满足,当时,，则()

Ａ、Ｂ、C、D、

思路:由，可类比