第讲、函数的对称性与周期性.doc

第四讲、函数的对称性?与周期性 板块一、函数的对称性? 知能点全解： 知能点一：单个函数的图?象对称性 性质1：函数的图象关?于直对称 证明：在函数上任取?一点，则，点关于直线 的对称点，当时 故点也在函数?图象上。 由于点是图象?上任意一点，因此，函数的图象关?于直线对称。 特别提醒： ①函数的图象关?于直线对称。 ②函数的图象关?于轴对称（奇函数）。 ③函数是偶函数?关于对称。 【例1】(2008东城?二模理5)若函数在上为?减函数，且对任意的,有，则（ ） A． B． C． D． D ∵，∴关于4对称， ∴ ∴A、B、C错，D正确． 及时演练： 1、【2011江苏?文理11】已知实数，函数，若，则的值为 ． 【答案】． 【解析】由题意得，当时， ，，解之得，不合舍去；当时，，，解之得． 2、 直线与曲线有?四个交点，则的取值范围?是 . 如图所示，要使与有四个?交点，必须在后面二?个图之间，故的取值范围?是 性质2：函数的图象关?于点对称 证明：在函数上任取?一点，则，点关于点的对?称点（，），当时， ，即点（，）在函数的图象?上。由于点为函数?图象上的任意?一点可知函数?的图象关于点?对称。 特别提醒： ①函数的图象关?于点对称。 ②函数的图象关?于原点对称（奇函数）。 ③函数是奇函数?关于点 对称。 知能点二：两个函数的图?象对称性 ①函数与函数的?图象关于直线?(即轴)对称. ②函数与函数的?图象关于直线?对称. 特殊地: 与函数的图象?关于直线对称? ③函数的图象关?于直线对称的?解析式为 ④函数的图象关?于点对称的解?析式为 ⑤函数与的图像?关于直线成轴?对称。 函数与的图像?关于直线轴对?称。 函数的图像与?的图像关于直?线成轴对称。 【例2】 (2008朝阳?二模文理2)若函数的图象?与函数的图象?关于轴对称，则函数的表达?式为（ ） A． B． C． D． D ,故选D. 及时演练： （2009朝阳?二模文理2）若函数的图象?与函数的图象?关于直线对称?，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D. 【解析】的反函数为，与为同一函数?， ∴， ∴故选D． 板块二、函数的周期性? 知能点全解： 1、对于函数，如果存在一个?非零常数，使得当取定义?域内的每一个?值时，都有都成立，那么就把函数?叫做周期函数?，非零常数叫做?这个函数的周?期。如果所有的周?期中存在着一?个最小的正数?，就把这个最小?的正数叫做最?小正周期。 说明：周期函数定义?域必是无界的?。 推广：若，则是周期函数?，是它的一个周?期 【例3】（2010丰台?一模文13）已知函数， ． ； ． 及时演练： 1、（2009石景?山一模理8, 文8）设 ，又记，，，2，…，则_____?____． A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】．. ，，∴是以4为周期?的函数， ，故选A． 2、已知函数是定?义在上的周期?函数，周期，函数是奇函数?.又知在上是一?次函数，在上是二次函?数，且在时函数取?得最小值. （1）证明：； （2）求的解析式； （3）求在上的解析?式. 【解析】∵是以为周期的?周期函数，且在上是奇函?数，∴，∴. ②当时，由题意可设， 由得，∴， ∴. ③∵是奇函数，∴， 又知在上是一?次函数，∴可设 而， ∴，∴当时，， 从而时，，故时，. ∴当时，有，∴. 当时，， ∴ ∴. 3、(2008宣武?一模理8)给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数?最近的整数，记作．在此基础上给?出下列关于函?数的四个命题?：（ ） ①函数的定义域?为，值域为； ②函数的图像关?于直线对称； ③函数是周期函?数，最小正周期为?1； ④函数在上是增?函数。 其中正确的命?题的序号是() A．① B．②③ C．①②③ D．①④ 【答案】C 【解析】画图可知在上?是不是单调递?增函数, ④不正确. 2、若是周期，则也是周期，一般所说的周?期是指函数的?最小正周期。 说明：周期函数并非?都有最小正周?期。如常函数； 3、对于非零常数?，若函数满足，则函数必有一?个周期为。 证明： ∴函数的一个周?期为。 【例4】(2008崇文?一模理13文?14)定义在R上的?函数满足且，则= ． . 及时演练： 1、已知定义在上?的奇函数满足?，则的值为（ ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【解析】因为是定义在?上的奇函数 所以，又，故函数，的周