函数的对称性与周期性例题、习题.doc

PAGE PAGE 1 函数的对称性与周期性 【知识梳理】 周期的概念：设函数，如果存在非零常数，使得对任意都有 ，则函数为周期函数，T为的一个周期； 周期函数的其它形式 ； ； ； ； ， ， 函数图像的对称性 1）.若，则的图像关于直线 对称； 2）.若，则的图像关于点 对称； 3）若，则的图像关于直线 对称； 4）若，则的图像关于直线 对称； 5）若，则的图像关于点 对称； 6）若，则的图像关于点 对称； 常见函数的对称性 1）函数的图像关于点 对称； 2）函数的图像关于直线 对称； 3）函数的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 函数的图像关于 对称； 函数的定义域为R，且，则的图像关于 对称； 函数的图像关于 对称； 函数的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数是偶函数，在递减，则( ) 2.已知是偶函数，则的图像关于 对称； 3.已知是奇函数，则的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式 1.已知的图像关于直线对称，且时，，求时，的解析式； 2.已知的图像关于点对称，且时，，求时，的解析式； 3.已知的图像关于点对称，且时，，求时，的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用 1.若函数的图像关于点对称，求满足的关系； 2.已知函数的定义域为，且对任意，都有(1)若有个根，求所有这些根的和；(2)若有个根，求所有这些根的和； 3.若有两条对称轴和，求证：是以为周期的周期函数； 4.设是定义在上的偶函数，它的图像关于直线对称，当时，，求时，的解析式； 5.已知定义域为的函数满足，求证函数是周期函数； 题型五 综合应用 1．设是定义在区间上以2为周期的函数，对于，用表示区间，已知当时，（1）求在上的解析式；（2）对自然数k，求集合使方程在上有两个不等实根}。 2．已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，函数。（1）求的值；（2）求的函数表达式；（3）如果关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得所有解的和记为，求的所有可能取值及相对应的的取值范围。 3．已知函数（1）求证：函数的图像关于点对称； （2）计算：的值。 函数的对称性与周期性课后练习 1.定义在R上的函数单调递增，如果的值 A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负 2.已知函数满足：①是偶函数；②在上为增函数． 若则与的大小关系是 A． B． C．= D．与的大小关系不能确定 3.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，那使成立的x的集合为 A． B． C． D． 4.已知函数f(x)满足：f(1)＝eq \f(1,4)，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________. 5..若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝（ ） A. B.3 C. D.4 6.设指数函数与对数函数的图象分别为C1、C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C1于另一点N．若曲线C2上存在一点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标的2倍，则点P的坐标是 A.（4，） B. C. D. 7.（1），则函数图像关于 对称； （2），则函数图像关于 对称； （3）若，则函数图像关于 对称． 8.（1）函数是奇函数，则函数图像关于 对称； （2）函数是奇函数，则函数图像关于 对称． 9.定义在上的函数满足，，，且当时，，则______． 10.若，则的周期性是： ． 11.（1）定义域是的奇函数又是周期为周期函数，则 ， ． （2）已知是定义在上的奇函数，且满足，则______； （3）若和都是定义域是的奇函数，则 ． 1