山东省济宁市第八中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷[含答案].docx
山东省济宁市第八中学2024?2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．函数的最小值是（????）
A． B． C． D．
2．中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（????）种
??
A．144 B．264 C．288 D．432
3．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（???）
A． B． C． D．
4．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（????）
A． B． C． D．
5．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
6．已知函数，则下列说法正确的是（????）
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
7．已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
8．函数在R上单调，则a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（???）
A．甲从M到达N处的走法种数为20
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲、乙能在处相遇的走法种数为36
D．甲、乙能相遇的走法种数为164
10．已知函数．则下列说法正确的是（????）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图象相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上恒成立，则
11．已知函数，下列结论正确的是（????）
A．当时，是的极大值点
B．存在实数，使得成立
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
三、填空题
12．如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．
13．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是．
14．若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为.
四、解答题
15．实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.
（1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
（2）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
（3）若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？
16．某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为（单位：），长为（单位：）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）设校园景观总造价为（单位：元），求的最小值.
17．已知函数．
(1)当时，证明；；
(2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
18．已知函数，其中．
(1)当时，求的单调性；
(2)当时，若对任意的实数恒成立，求证：．
19．函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”．
（1）判断是否为的“－函数”，并证明；
（2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）；
（3）若，，，，证明：是的“－函数”．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
故选D.
2．【答案】B
【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有种不同方法，
对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3，
则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种．
反面颜色也能选