山西省太原市常青藤中学校、朔州市平鲁区李林中学2024−2025学年高二下学期联考 数学试题[含答案].docx
山西省太原市常青藤中学校、朔州市平鲁区李林中学2024?2025学年高二下学期联考数学试题
一、单选题
1．下列求导运算结果不正确的是（???）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，，则的公差为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数在点处的切线方程是（????）
A． B．
C． D．
4．在的二项展开式中，项的系数为（????）
A．6 B．4 C．2 D．1
5．由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的有（???）
A．120个 B．30个 C．36个 D．48个
6．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（????）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
7．已知函数在时有极值为，则（????）
A． B．或 C． D．
8．若函数，且，则正实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．若，则正整数x的值是1
10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（???）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C． D．
11．已知函数，则下列判断正确的是（????）
A．存在，使得 B．函数的递减区间是
C．任意，都有 D．对任意两个正实数、，且，若，则
三、填空题
12．数列的前项和为，若，则.
13．甲、乙、丙等人站成一排，其中甲、乙、丙3人相邻，则不同的站法共有种．
14．定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则使得成立的x的取值范围为.
四、解答题
15．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
16．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项.
17．记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）如对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：.
19．已知函数
（1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
（2）已知有两个零点，，
①求实数a的取值范围
②当时，证明
参考答案
1．【答案】A
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选A.
2．【答案】B
【详解】由题可知，得，，得，
所以的公差.
故选B
3．【答案】A
【详解】由，得到，所以，
所以在点处的切线方程是，即，
故选A.
4．【答案】A
【详解】展开式的通项为，
令，则，
所以项的系数为.
故选A.
5．【答案】C
【详解】因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以按照个位数字分为两类：
当个位数字为5时，首位数字从1，2，3，4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有（个）；
当个位数字为0时，前面两位数字从1，2，3，4，5中选2个排列，所以有（个），
所以所求的三位数共有（个）．
故选C.
6．【答案】A
【详解】设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选A.
7．【答案】A
【详解】解：，
由题意，解得，.
此时，，
当时，，当时，，
故函数在时取得极小值，合乎题意.
因此，.
故选A．
8．【答案】C
【详解】易知的定义域为，
由可得，即；
因为，所以，即，
构造函数，则，
可知函数在上单调递增，因此，
即，所以，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，；
即可得，解得.
所以正实数的取值范围是.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】选项A，因为，故A正确；
选项B，，故B正确；
选项C，由，
，得，故C正确；
选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BCD
【详解】因为，所以，
则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误；
根据题意得，，
所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则，故B正确；
所以，故C正确；
，故D正确.
故选BCD
11．【答案】BCD
【详解】因为，定义域为，，
令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，
令，
则．
在上为减函数，则，
令，由，得，
则，当时显然成立．
对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以．
13．【答案】36
【详解】甲、乙、丙捆绑并排列有种，与另外2人排有种，故共有种.
14．【答案】
【详解】设，为偶函数
当时，
所以时，单调