第三章 §3.5　导数与函数的最值.docx

§3.5导数与函数的最值

课标要求1.理解函数最值与极值的关系.2.掌握利用导数研究函数最值的方法.3.会用导数研究生活中的最优化问题.

1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的.?

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.?

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.()

(2)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()

(3)函数的极大值不一定是最大值，但一定不是最小值.()

(4)有极值的函数一定有最值，但有最值的函数不一定有极值.()

2.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是()

A.1，－1 B.1，－17

C.3，－17 D.9，19

3.函数y＝lnxx的最大值为(

A.e－1 B.e

C.e2 D.10

4.函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为.?

解题时灵活应用以下几个关键点

(1)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

(2)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.

题型一利用导数求函数的最值

例1已知函数f(x)＝(x－1)ex－12ax2

(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值；

(2)若a0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.

思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.

跟踪训练1已知函数f(x)＝x-ax－lnx(a∈R)，求f(x)在(0，e

题型二已知函数的最值求参数

例2(2024·淮安模拟)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值为－2a，求a的取值范围.

思维升华含参数最值问题，关键是先讨论函数的单调性，利用单调性画出草图，借助函数图象，分类讨论最值问题，由最值求参数的值时，要注意检验所求的值是否满足分类讨论的条件.

跟踪训练2已知函数f(x)＝xlnx－(a＋1)x＋1(a0)，若f(x)在1，e上的值域为1-2e，-2

题型三生活中的优化问题

例3我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径之比为1∶10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷(π取近似值3)()

A.105000吨 B.68160吨

C.157000吨 D.146500吨

思维升华解决最优化问题，应从以下几个方面入手

(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.

(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.

跟踪训练3(2025·宁德模拟)为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(单位：万元)与lnx10成正比(其中x(单位：台)表示产量)，并知当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)(单位：万元)与产量x(单位：台)的函数关系为p(x)＝－x100＋10x＋5150(其中x≥10).若生产的产品当年能全部售完，则该工厂的最大年利润为万元.(参考数据：取ln2为0.7，ln3为1.1，ln

答案精析

落实主干知识

2.(1)极值(2)f(a)，f(b)

自主诊断

1.(1)√(2)×(3)√(4)×

2.C[f?(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

令f?(x)0，得x1或x－1，令f?(x)0，得－1x1，

故f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，

且f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，

所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是3，－17.]

3.A[由题意得函数定义域为(0，＋∞)，

令y＝1-lnxx2＝0?

当xe时，y0；