第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值.docx

§3.3导数与函数的极值、最值

课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.

1.函数的极值

(1)函数的极小值

函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f(a)=0；而且在点x=a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.?

(2)函数的极大值

函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f(b)=0；而且在点x=b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.?

(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为.?

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值.?

(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的；?

②将函数y=f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.?

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.()

(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.()

(3)函数的极小值一定是函数的最小值.()

(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.()

2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减

B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增

C.函数f(x)在x=3处取得极大值

D.函数f(x)在x=4处取得极小值

3.函数f(x)=x3-12x2-14x的极小值点为，极大值为

4.若函数f(x)=x3-ax2+2x-1有两个极值点，则实数a的取值范围是.?

解题时灵活应用转化以下几个关键点

(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).

(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.

(3)有极值的函数一定不是单调函数.

(4)“f(x0)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f(0)=0，但0不是极值点.

(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.

题型一利用导数求解函数极值问题

命题点1根据函数图象判断极值

例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)=xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.f(x)有两个极值点

B.f(0)为f(x)的极大值

C.f(x)有两个极小值点

D.f(-1)为f(x)的极小值

命题点2求已知函数的极值

例2(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=2lnx-2(a-1)x-ax2(a0)，讨论f(x)的极值.

命题点3已知极值(点)求参数

例3(1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)=x(x-c)2在x=-2处取极小值，则c等于()

A.-6 B.-2

C.-6或-2 D.-4

(2)已知函数f(x)=lnx-aex(其中a∈R，e为自然对数的底数)存在极大值，且极大值不小于1，则a的取值范围为

思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)验证：求解后验证根的合理性.

跟踪训练1(1)已知函数f(x)=aex+bx在x=0处取得极小值1，则f(2)等于()

A.e2-2 B.2-e2

C.e2-1 D.e2

(2)若函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为()

A.a-2 B.a-1

C.a-2 D.a-1

题型二利用导数求函数的最值

命题点1不含参函数的最值

例4函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为()

A.-π2，π2

C.-π2，π2+2

命题点2含参函数的最值

例5已知函数f(x)=(x-1)ex-12ax2(a0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值

思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论