第三章 §3.4　导数与函数的极值.docx

§3.4导数与函数的极值

课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会利用极值点(极值)求参数.

1.函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.?

2.函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.?

3.极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为.?

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.()

(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.()

(3)单调函数没有极值.()

(4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.()

2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()

A.1 B.2

C.3 D.4

3.函数f(x)＝x3－12x2－14x的极小值点为，极大值为.

4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是___________________________.

解题时灵活应用以下几个关键点

(1)极值点不是点，若函数f(x)在x＝x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).

(2)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得.

(3)有极值的函数一定不是单调函数.

(4)f(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如，f(x)＝x3，f(0)＝0，但0不是极值点.

题型一根据函数图象判断极值

例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)＝xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.f(x)有两个极值点

B.f(0)为f(x)的极大值

C.f(x)有两个极小值点

D.f(－1)为f(x)的极小值

思维升华由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f(x)的图象可以看出y＝f(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

跟踪训练1已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集为()

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.0，1

题型二求已知函数的极值点、极值

例2已知函数f(x)＝ln(1＋x)－mx，求函数f(x)的极值.

思维升华运用导数求函数f(x)极值的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域.

(2)求导函数f(x).

(3)解方程f(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有零点.

(4)判断f(x)的正负，求f(x)的单调区间.

(5)求出极值.

跟踪训练2(1)函数f(x)＝x3(3x－4)的极值点是()

A.0 B.1

C.1或0 D.(1，－1)

(2)(2025·惠州模拟)已知函数f(x)＝eax＋1x(a≥0).设g(x)＝f(x)·x2，求函数g(x)的极大值

题型三已知极值(点)求参数

例3(1)(2025·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于()

A.－6 B.－2

C.－6或－2 D.－4

(2)(2024·苏州质检)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为.?

思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)验证：求解后验证根的合理性.

跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f(2)等于()

A.e2－2 B.2－e2

C.e2－1 D.e2

(2)(2024·北京模拟)若函数f(x)＝2＋axlnx存在极大值，则实数a的取值范围是()

A.a0 B.a0

C.a≤0 D.a≥0

三次函数的性质

三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.

典例(多选)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则下列选项正确的是()

A.三