第二章 §2.1 函数的概念及其表示.docx
§2.1函数的概念及其表示
课标要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是，如果对于集合A中的一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.?
2.函数的三要素
(1)函数的三要素：、、.?
(2)如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.?
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有、图象法和.?
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.()
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.()
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.()
(4)函数f(x)＝x-1,x≥0,x2
2.以下图形中，不是函数图象的是()
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是()
A.y＝x＋33-x
B.y＝x2与y＝(x－1)2
C.y＝x2与y＝
D.y＝1与y＝x0
4.已知函数f(x)＝x2,x≤1,log4x,x1,
1.求函数的定义域时，需掌握的几个常用结论
(1)分式型1f(x)要满足f(x
(2)根式型2nf(x)(n∈N*)要满足f(
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0.
(4)对数型logaf(x)(a0，且a≠1)要满足f(x)0.
(5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠π2＋kπ，k∈Z
2.谨防四个易误点
(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.
题型一函数的概念
例1(1)(多选)下列选项中正确的是()
A.函数f(x)＝1x＋1－x的定义域为[
B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
C.函数y＝x2-1x＋1与函数y
D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
(2)(2025·阜阳模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为0，4，则函数y＝f(x＋1)x-1＋(x
思维升华函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
跟踪训练1(1)函数f(x)＝1x-2＋ln(x－1)的定义域为(
A.(1，＋∞) B.(1，2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1) D.(0，2)∪(2，＋∞)
(2)(多选)下列命题中是假命题的是()
A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)＝x-3
C.若函数f(x)的定义域为(－1，2)，则函数f(x＋1)的定义域为(0，3)
D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1
题型二函数的解析式
例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知fx2＋1x2＝x4＋1x
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知函数f(x)满足f(x)＋2f1x＝x，求函数f(x)的解析式
思维升华函数解析式的求法
(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
跟踪训练2(1)若f1x＝x1-x，则f(x
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝.?
题型三分段函数
例3(1)(多选)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x＋2,x≤-1,x2,-1x
A.f(f(－1))＝1
B.若f(x)＝3，则x的值是3
C.f(x)1的解集为-
D.f(x)的值域为-
(2)(多选)(2025·朝阳模拟)函数D(x)＝1,x∈Q,
A.D(D(2))＝D(D(2))
B.D(x)的值域为{0，1}
C.D(x)≠D(－x)
D.对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x)
思维升华分段函数求值