新人教版高中数学选择性必修第一册第二章 §2.1 2.1.1倾斜角与斜率.pdf

§2.1直线的倾斜角与斜率

2．1.1倾斜角与斜率

学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存

在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

导语

交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某

条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果

上升高度DB

是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝水平距离＝.若k0，则表示上坡，若k0，则

AD

表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何

来刻画道路的倾斜程度的呢？

一、直线的倾斜角

问题1在平面中，怎样才能确定一条直线？

提示两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．

问题2在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线

的方向，图中过点P的直线有什么区别？

提示直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．

知识梳理

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫

做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

注意点：

(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴

的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．

(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．

(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

例1(1)(多选)下列命题中，正确的是()

A．任意一条直线都有唯一的倾斜角

B．一条直线的倾斜角可以为－30°

C．倾斜角为0°的直线有无数条

D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)

答案AC

解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，

它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．

D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误．

(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，

得到直线l，那么l的倾斜角可能为()

11

A．α＋45°B．α－135°

C．135°－αD．α－45°

答案AB

解析根据题意，画出图形，如图所示．

通过图象可知，

当0°≤α135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.

反思感悟直线倾斜角的概念和范围

(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根

据情况分类讨论．

(2)注意倾斜角的范围．

跟踪训练1(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角

为．

答案60°或120°

解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜

角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

(2)已知直线l的倾斜角α＝15°，直线l与l的交点为A，直线l和l向上的方向所成的角

111212

为120°，如图，则直线l2的倾斜角为．

答案135°

解析设直线l的倾斜角为α，l和l向上的方向所成的角为120°，

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