人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.2.1 直线的倾斜角与斜率.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;一、直线的倾斜角与斜率

1.若直线l1,l2(不重合)与x轴的夹角相等,则一定有l1∥l2吗?

提示:不一定.

2.给定直线l(与x轴不垂直),在l上任取四点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),S(x4,y4),式子有何关系?

提示:相等.;3.(1)直线的倾斜角

一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°~180°.;(2)直线的斜率

如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°;

当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°;

当x1≠x2,且y1≠y2时,可以构造以AB为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的直角三角形,如图①和图②所示,此时,而且,这个式子在x1≠x2且y1=y2时也成立.;(3)直线的倾斜角与斜率的关系

一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tanθ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.?;二、直线的方向向量和法向量

1.一条直线有多少个方向向量?它们是什么关系?

提示:无数.共线.

2.若向量a=(x,y),b=(-y,x),则a与b是什么关系?

提示:垂直.;3.(1)直线的方向向量

一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作a∥l.

当直线l的倾斜角为θ时,m=(cosθ,sinθ)是直线l的一个方向向量;当直线l的斜率k存在时,n=(1,k)也是直线l的一个方向向量.?

一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为90°;当u≠0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而k=,倾斜角θ满足tanθ=.

(2)直线的法向量

一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作v⊥l.;4.若直线l的倾斜角为150°,则l的斜率为,它的一个方向向量a=;它的一个法向量v=.?;【思考辨析】

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)任何直线都??唯一一个倾斜角.()

(2)与x轴平行的直线的倾斜角是0°或180°.()

(3)有些直线无斜率.()

(4)若直线l的倾斜角是θ,则它的斜率为tanθ.()

(5)若a=(m,n)是直线l的法向量,则b=(-n,m)就是l的一个方向向量.();合作探究释疑解惑;;解:由题意画出示意图如图所示.;求直线的倾斜角,应根据定义求解.关键是根据题意画示意图,找准直线的倾斜角,必要时还应分类讨论.;【变式训练1】设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()

A.α+45°

B.α-135°

C.135°-α;解析:根据题意,画出图形,如图所示.;;在本例条件下,若直线l的倾斜角为锐角,求实数m的取值范围.

解:因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的斜率大于0,即0,解得1m2.;求直线的斜率的方法

(1)判断直线上两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则利用斜率公式(其中x1≠x2)进行计算.

(2)若直线的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,直线的斜率k=tanθ.

(3)若直线的一个方向向量为a=(u,v)(u≠0),则直线的斜率;【变式训练2】求过点A(0,2)和点B(m,-2)的直线的斜率.

解:当m=0时,直线的斜率不存在.;;1.若P(x1,y1),Q(x2,y2)是直线l上两点,则a=(x2-x1,y2-y1)就是直线l的一个方向向量,b=(y1-y2,x2-x1)就是直线l的一个法向量.

2.若直线l的斜率为k,则a=(1,k)就是直线l的一个方向向量,b=(-k,1)就是直线l的一个法向量.

3.若直线l的倾斜角为θ,则a=(cosθ,sinθ)就是直线l的一个方向向量,

b=(-sinθ,cosθ)就是直线l的一个法向量.;【变式训练3】已知点P(-1,m),Q(4,4)是直线l上两点,且u=(-2,2)是直线l