18 第二章 第9课时 函数的零点与方程的解.docx
第9课时函数的零点与方程的解
[考试要求]1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．
[常用结论]
1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ()
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0. ()
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点． ()
(4)只要函数有零点，就可以用二分法求出零点的近似值． ()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()
AB
CD
A[根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
－4
－2
1
4
2
－1
－3
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()
A．(1，2) B．(2，3)
C．(5，6) D．(6，7)
BC[由所给的函数值表知，
f(1)f(2)0，f(2)f(3)0，f(5)f(6)0，f(6)f(7)＞0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC.]
3．(人教A版必修第一册P143例1改编)方程log2x＋x－2＝0的实根个数是()
A．0B．1C．2D．3
B[令f(x)＝log2x＋x－2，易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，所以f(1)f(2)＜0，
故方程f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个实根．故选B.]
4.(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．
0或－14[当a＝0时，f(x)＝－x
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－14
考点一判定函数零点所在的区间
[典例1](1)(2025·河北邯郸模拟)函数f(x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是()
A．(－2，－1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．
(1)B(2)2[(1)由函数f(x)＝2x＋x3－2可知f(x)在R上单调递增，
因为f(－2)＝14－8－2＝－3940，f(－1)＝12
f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，
根据函数零点存在定理，f(x)的零点所在的区间是(0，1)，且零点是唯一的．故选B.
(2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的