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2025平面向量知识点总结归纳

平面向量是高中数学的重要内容，它兼具代数与几何的双重属性，在数学及物理学等领域有着广泛的应用。以下是对2025平面向量知识点的详细总结归纳。

平面向量的基本概念

1.向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。比如，在物理学中，位移、力等都是向量。与之相对的是数量，数量只有大小，没有方向，像长度、质量、时间等。向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的有向线段表示的向量记作\(\overrightarrow{AB}\)，也可以用小写字母\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)等来表示。

2.向量的模

向量的大小叫做向量的模，记作\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)或\(\vert\vec{a}\vert\)。模是一个非负实数，它表示向量的长度。例如，若向量\(\vec{a}\)对应的有向线段长度为5，则\(\vert\vec{a}\vert=5\)。

3.零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)。零向量的方向是任意的，这是零向量的一个特殊性质。在实际应用中，零向量常常表示没有位移、合力为零等情况。

4.单位向量

长度等于1个单位的向量叫做单位向量。对于任意非零向量\(\vec{a}\)，与它同方向的单位向量记作\(\vec{e}\)，且\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。这是因为\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)的方向与\(\vec{a}\)相同，而其模为\(\vert\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\vert=\frac{\vert\vec{a}\vert}{\vert\vec{a}\vert}=1\)。

5.平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也称为共线向量。规定零向量与任意向量平行。若向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)平行，记作\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)。例如，在平面直角坐标系中，向量\(\vec{a}=(1,0)\)与向量\(\vec{b}=(2,0)\)就是平行向量，因为它们的方向相同。

6.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若\(\vec{a}=\vec{b}\)，则意味着它们的模相等且方向一致。相等向量经过平移后可以完全重合。例如，在平行四边形ABCD中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，因为它们的长度相等且方向相同。

7.相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量\(\vec{a}\)的相反向量记作\(\vec{a}\)。例如，若\(\vec{a}=(3,4)\)，则\(\vec{a}=(3,4)\)。零向量的相反向量仍是零向量，即\(\vec{0}=\vec{0}\)。

平面向量的线性运算

1.向量的加法

三角形法则：已知非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，在平面内任取一点A，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则。它的实质是将两个向量首尾相连，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和。这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。平行四边形法则适用于两个不共线向量的加法。

加法运算律：向量加法满足交换律\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)和结合律\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)。交换律表明两个向量相加，交换它们的位置，和不变；结合律则说明三个向量相加，先把前两个向量相加，或者先把后两个向量相加，和不变。

2.向量的减法

向量的减