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5.1 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量｜｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量，记为大小相等，方向相同 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设，则+== （1）；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，（作图） （2） 三角形法则 ，但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法 ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 记作,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=； (iii)若、是互为相反向量，则=,=,+= ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差， ③作图法： 4实数与向量的积： ①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 5两个向量共线定理： 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= 6平面向量的基本定理： 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 例1 给出下列命题： ① 若||＝||，则=； ② 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若=，=，则=， ④=的充要条件是||=||且//； ⑤ 若//，//，则//， 其中正确的序号是 例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ①，② ③ 例3设非零向量、不共线，=k+，=+k (k?R)，若∥，试求k 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)。 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 若，则 若，则 3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质  运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1平行四边形法则 2三角形法则 向 量 的 减 法 三角形法则 向 量 的 乘 法 是一个向量, 满足: 0时,与同向; 0时,与异向; =0时, = ∥ 向 量 的 数 量 积 是一个数 或时, =0 且时, , 例1 已知向量，，且，求实数的值 、(2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为(　　)． A．－1 B．1 C．－2 D．2 3、若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　)． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c) 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立： ； 6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·= 8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 co