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Banach空间教学中与不动点性质有关的几何性质

第1章绪论1.1研究背景及意义

泛函分析是从20世纪30年代开始形成的现代数学中的一个重要分支

。综合运用了函数论、几何学、现代数学的方法来研究分析算子和极限理

论。一方面，泛函分析通过其他领域和学科所提供资源来选择研究对象，

并形成自己的很多重要的研究分支，例如算子理论等。它成为了一门内容

丰富、综合性较强的数学分支。另一方面，泛函分析作为一种强有力的、

高效的研究工具，也积极推动着微分方程、概率论、函数论、理论物理、

计算数学、控制论等学科的发展。Banach空间几何理论是近代泛函分析的

重要分支。1932年，波兰数学家Banach出版了著作《Theoriesof

operationslineariness》.

1936年，Clarkson[1]引入一致凸空间的概念，并证明了一致凸的Banach

空间具有Radon-

Nikodym性质。这是最早建立的Banach空间几何性质与分析性质的联系。

之后，数学学者们开始了从单位球的几何形状出发来讨论Banach空间的性

质，包括Banach空间的各种凸性、光滑性及范数的可微性。Krein-

Milman定理（设K是局部凸空间X的紧凸集，则K是它端点的闭凸包[2]）的

出现，使得可以用端点来描述一个紧凸集。1957年，James[3]证明了Jame

s定理：Banach空间X是自反的充要条件是对任何f∈X*,

f达到它的范数。1965年，Kirk[4]得到了具有正规结构的自反Banach空间

蕴含不动点性质。之后，大量对Banach空间中非扩张映射是否具有（弱）

不动点性质的研究方法都是寻找蕴含正规结构的几何条件或者几何性质，

得到了颇丰的研究结果。随着Banach空间几何理论的不断发展，其研究内

容也逐渐丰富起来，并显示出了勃勃生机。Orlicz空间是一类特殊的Bana

ch空间，它是Lp(1p

∞)空间的推广。Orlicz空间中，由于其生成函数的复杂与迥异，从而Orl

icz空间本身也是千差万别的，Banach空间中的许多实例和反例都取自于O

rlicz空间。随着Orlicz空间理论的研究深入和发展，它被广泛地应用到

不动点理论、概率论、微分方程、逼近论等理论和学科中，它为众多的非

线性分析问题提供了合适的空间框架。

1.2研究现状

Banach压缩映像原理作为泛函分析、非线性分析和微分方程中的一

个基本工具，不仅可以检验是否存在（唯一）不动点，还可以构造一个迭

代序列无限逼近不动点。因此，这一定理几乎在应用数学的各个分支都有

着广泛的应用。一个自然的研究思路：是否可以通过减弱Banach压缩映像

原理中的条件从而改进或推广这一结论。集值映射的不动点理论在一些学

科，特别是博弈论和数理经济学，有着十分重要的应用。因此，学者们思

考一个问题：是否能将单值映射中已有的不动点结果推广到集值映射中？

1969年，Nadler[52]将Banach压缩映像原理成功的推广到了集值压缩映射

中。关于Kirk经典的结果能否推广到集值非扩张映射的情况中。我们知道

单值映射情况下，有许多可以蕴含不动点性质的几何性质，例如：一致凸

、接近一致凸、接近一致光滑等。那么：这些几何性质是否也可以蕴含集

值映射具有不动点性质？学者们通过不懈的努力，已经得到了一些结果，

直接证明了这些几何性质可以蕴含集值不动点性质。1974年，Lim[53]利

用Edelstein渐近中心方法证明了一致凸Banach空间具有集值不动点性质

。第2章广义vonNeumman-Jordan常数

2.1引言

Banach空间几何理论中一个重要的研究内容就是定义新的几何常数

，并研究几何常数之间的关系，同时寻找蕴含不动点性质的几何条件。设

X为一个不具有Schur性质的实Banach空间（X中存在弱收敛但不依范数收

敛的序列）。SX和BX分别表示Banach空间X的单位球面和单位球。本章主

要研究广义vonNeumann-

Jordan常数与一些已知系数之间的关系，寻找Banach空间中蕴含不动点性

质、正规结构与一致正规结构的几何条件。

2.2广义vonNeumann-Jordan常数与不动点性质

下面两个命题分别给出了广义vonNeumann-

Jordan常数与系数R(a,X),R(X)的关系，