专题862线面垂直的判定与性质线面角.docx
【专题8.6.18.6.2空间直线与平面的垂直】
总览
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题型梳理
题型
题型分类
知识讲解与常考题型
【题型1：异面直线的夹角问题】
知识讲解
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【考向1：求异面直线的夹角】
例题精选
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【例题1】（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（????）
A． B． C． D．
【例题2】（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（????）
??
A． B． C． D．
相似练习
相似练习
【相似题1】（2425高三下·陕西咸阳·阶段练习）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（???）
A． B． C． D．
【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为．
【相似题3】（2425高三上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为．
【考向2：已知异面直线的夹角求其他量】
例题精选
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【例题1】（2425高一下·全国·课后作业）已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为．
【例题2】（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为．
相似练习
相似练习
【相似题1】（2425高二上·上海·阶段练习）如图，在空间四面体中，若棱与成60°角，且，则连接、、、四条棱的中点E、F、G、H所得的四边形的面积等于.
??
【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，E、F分别是的中点.若所成的角为，且，求的长.
【相似题3】（2425高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．
??
【题型2：线面垂直定理的理解】
知识讲解
知识讲解
1.线面垂直的定义
若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称直线与平面垂直，记作。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。
该定义强调“任意一条直线”，意味着无论在平面内如何选取直线，都与直线垂直，这是线面垂直最本质的特征，也是判断线面垂直的理论基础，但在实际证明中，直接用定义判定不太方便，因为很难穷举平面内所有直线。
2.线面垂直的判定定理
定理内容：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
理解要点：
必须是平面内的两条相交直线，仅有一条直线垂直，或两条平行直线垂直，都不能得出线面垂直的结论。例如在长方形桌面$ABCD$中，，但$AD$与桌面所在平面不垂直；若，直线且，也不能直接得出垂直于桌面所在平面。
该定理将“线面垂直”的问题转化为“线线垂直”的问题，是证明线面垂直的重要方法。比如在正方体中，证明平面$ABCD$，可通过证明且，，从而得出结论。
3.线面垂直的性质
性质一：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线。即若，，则。这是线面垂直定义的逆用，也是证明线线垂直的重要依据，将线面垂直关系转化为线线垂直关系。
性质二：垂直于同一个平面的两条直线平行。若，，则。此性质揭示了“线面垂直”与“线线平行”之间的联系，常用于证明空间中两条直线平行。例如在建筑工程中，两根垂直于地面的立柱是相互平行的。
性质三：如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的所有平面都垂直于这个平面。即若，，则。这体现了线面垂直与面面垂直之间的转化关系。
例题精选
例题精选
【例题1】（2425高一下·天津·期中）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（???）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【例题2】（2425高一下·河南·期中）若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（???）
A．若，，则
B．若，，则
C．，，，则
D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线
相似练习
相似练习
【相似题1】（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（???）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【相似题2】多选题（2024·江苏宿迁·模拟预测）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（????）
A．平面内有无数条直线与直