利用物理信息嵌入神经网络解决偏微分方程的新方法研究.docx

利用物理信息嵌入神经网络解决偏微分方程的新方法研究

目录

内容综述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

1.1研究背景与意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

1.2国内外研究现状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

1.2.1基于物理信息神经网络的研究进展．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5

1.2.2偏微分方程求解方法综述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8

1.3研究内容与目标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10

1.4研究方法与技术路线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11

相关理论与技术基础．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12

2.1偏微分方程基本理论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13

2.1.1偏微分方程的分类与性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14

2.1.2偏微分方程的定解问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17

2.2物理信息神经网络．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．19

2.2.1物理信息神经网络的基本原理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20

2.2.2物理信息神经网络的构建方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22

2.3常用数值方法简介．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．23

2.3.1有限差分法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．24

2.3.2有限元法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．28

基于物理信息神经网络求解偏微分方程的模型构建．．．．．．．．．．．29

3.1物理信息嵌入方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32

3.1.1直接嵌入方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．34

3.1.2间接嵌入方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．35

3.2模型设计与网络结构．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．36

3.2.1网络层数与激活函数选择．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．40

3.2.2损失函数的定义与优化．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．41

3.3模型的训练与求解策略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．42

3.3.1数据准备与边界条件处理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43

3.3.2模型的训练算法与参数设置．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．44

新方法的数值实验与分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．46

4.1实验设置与数据生成．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．49

4.1.1实验问题的选取．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．50

4.1.2训练数据与测试数据的生成．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．51

4.2新方法的验证与分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．52

4.2.1数值结果与解析解的对比．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53

4.2.2误差分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．54

4.2.3稳定性分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．57

4.3与传统方法的对比分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．59

4.3.1计算效率对比．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．60

4.3.2精度对比．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．61

4.3.3适用