基于神经网络的常微分方程数值计算方法.pdf

第 18 卷 第 3 期 计 　　算 　　物 　　理 Vol. 18 ,No. 3 　 2001 年 5 月 　CHIN ESE J OURNAL OF COMPU TA TIONAL PHYSICS 　 May , 2001 ( ) [文章编号] 　1001246X 2001 微分方程的神经网络数值解法 尚　智, 　刘瑞兰 , 　苏光辉 , 　贾斗南 ( 西安交通大学能源与动力学院核能系 ,陕西 西安　710049) [摘 　要] 　神经网络具有良好的自学习和自适应能力 ,在现代科学中有很重要的应用. 利用神经网络的特殊性质 , 基于基数 B 样条小波分析 ,提出了一种全新的神经网络数值计算格式 ,并且对具有边界层的常微分方程进行了数 值计算 ,验证了该方法的有效性. [ 关键词] 　神经网络 ; 自适应;基数 B 样条小波分析 ;数值计算 ;边界层 [ 中图分类号] 　TP183 ; O24181 　　　[文献标识码] 　A 法 , 已在很多领域得到应用,如信息图象处理、非线 0 　引言 性科学及微分方程数值求解等方面 ,可以说是在工 二十世纪初 , Prandtl 在其论文《在很小摩擦时 具和方法上的重大突破. 它可以利用自身的多分辨 流体的运动》中提出边界层的概念 ,很好地解决了粘 分析特性 ,将对象在任何细节上聚焦 ,且同时在空域 性流动的摩擦阻力问题 , 从而创立边界层理论[1 ] . 和频域上保持良好的局部化特性. 所谓边界层 ,就是在靠近边界的某个小区域内 ,某些 本文正是利用神经网络和小波分析的上述特 物理量对其空间尺度发生急剧变化 ,这个小区域即 点 ,将神经网络和小波分析的优点相结合 ,形成一种 为边界层. 这类边界层问题 ,广泛地存在于力学的其 特殊的网络 ,可以称之为小波神经网络. 利用此网络 它领域 ,如复合材料层板中出现的边缘效应问题 ,孔 将微分方程用神经元之间相应的权值和阈值相互组 边和裂纹尖端的应力集中问题[2 ] ,还有一类来源于 合成的网络表示 ,而这些神经元之间的相互组合可 不同实际背景的奇异摄动问题[3 ] . 在边界层的解法 以通过基数B 样条小波函数来实现. 因此利用神经 ( 中 ,主要有相似解法、积分方程解法、级数解法、奇异 网络的一对一特点 即一个输入参数仅对应相应的 ) 摄动解法和差分数值计算方法 , 以及有限元、边界元 输出样本 ,可以实现对微分方程既不需繁琐的数学 方法. 但是这些方法或需进行繁琐的数学推导 ,如奇 推导 ,又不需解代数方程组的简单而有效地解法. 并 异摄动解法 ;或需解代数方程组 ,如差分数值计算方 在文中通过计算机求解一维边界层方程 ,证实了该 法、有限元和边界元数值计算方法. 如何能构造一种 方法的切实可行. 既不需繁琐的数学推导 ,又不需解代数方程组的简 目前,神经网络在国际上争论较为激烈 ,主要是 单而有效地方法解微分方程 ,这无疑将是极具实际 因为神经网络能否用于解工程上的微分方程还没有 和深远意义的.