2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校高一下学期期中考试数学试卷含详解.docx
上外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的初始相位为.
2．函数的最小正周期为．
3．已知,,且,则的值为.
4．已知向量,,,的夹角为,则.
5．函数的单调递增区间为.
6．等边的边长是2,则.
7．已知则在上的投影向量为
8．根据下图,函数的解析式为
??
9．定义在上的函数既是奇函数又是周期函数,其最小正周期是,当时,则的值为.
10．已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是.
11．已知函数的表达式,的图象在y轴上的截距为1,且关于直线对称,若存在,使成立,则实数m的取值范围为．
12．已知函数,若满足（）,则的取值范围是.
二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14每题4分,15,16每题5分）.
13．下列说法正确的是
A．向量与表示同一个向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量,是一个单位向量
14．函数的部分图像是
A． B． C． D．
15．先将函数的周期扩大为原来的倍,再将新函数的图像向右平移,则所得图像的解析式为（????）
A． B．
C． D．
16．已知函数的定义域是,值域是,则的值不可能为（????）
A． B． C． D．
三,解答题（本大题满分78分）.
17．已知函数.
（1）若角的终边与单位圆交于点,求的值.
（2）当时,求的值域.
18．在中,角所对的边分别为,且.
(1)若满足,求角大小.
(2)若,且,求的面积.
19．如图,某公园有三条观光大道,,围成直角三角形,其中直角边,斜边.
(1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发,甲沿运动,乙沿运动,乙比甲迟2分钟出发,求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离.
(2)现有甲,乙,丙三位小朋友分别在点,,（,,分别是,,中点）.设,,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且,请将甲乙之间的距离表示为的函数,求甲乙之间的最小距离,并指出此时的值.
20．已知函数
(1)若且的最大值为,求函数在上的单调递增区间.
(2)若,函数在上有且仅有一个零点,求实数的取值范围.
(3)已知的一条对称轴方程为,令,存在常数,使得函数为偶函数,求最小的正数的值.
21．已知,都是单位向量,,,函数,.
(1)当时,求值.
(2)若,求实数的值.
(3)是否存在实数,使函数,有四个不同零点？若存在,求出的范围,若不存在,说明理由.
1．
【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得.
【详解】因为函数为,所以初始相位为.
故答案为：.
2．
【详解】试卷分析：由,得函数的最小正周期为.
考点：三角函数的周期.
3．
【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得,结合已知求参数值.
【详解】由题设,即.
故答案为：
4．
【分析】根据向量的模长公式即可求解.
【详解】.
故答案为：.
5．
【分析】根据正切函数的单调增区间为,即可求解.
【详解】令.
解得.
所以的单调递增区间为.
故答案为
【点睛】本题主要考查了正切型函数的单调区间,属于中档题.
6．
【分析】根据平面向量数量积的计算公式直接求解即可.
【详解】因为等边的边长是2,与的夹角为.
所以.
故答案为：
7．
【分析】根据投影向量的公式即可得解.
【详解】因为,且
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
8．
【分析】根据函数图像判断函数性质,进而确定函数解析式.
【详解】由图像可知函数最小值为,且最小正周期.
又,.
则,.
根据函数的对称性可知函数经过点.
即.
解得,.
又.
即.
即.
故答案为：.
9．##
【分析】利用奇函数的性质及周期性有,再应用解析式即可求值.
【详解】由题设.
故答案为：
10．
【分析】由,求得,得出函数的零点,集合题意,得出不等式,即可求解.
【详解】由函数,令,即.
解得,可得.
因为,则对应的零点为
因为函数在区间有且仅有3个零点.
则满足,解得,即实数的取值范围为.
故答案为：.
11．
【分析】由已知及三角函数性质可列式解得,则存在,使成立等价于,求函数最小值即可.
【详解】由的图象在y轴上的截距为1得.
由的图象关于直线对称得,又,∴.
∴,∴.
当时,,故当,即时,,故存在,使成立等价于,解得或.
故答案为：
12．
【分析】根据解析式画出大致图象,结合正弦函数的对称性有,对数函数的性质得,即可得.
【详解】由解析式,函数的大致图象如下.
由图,要使,则,且.
令,可得,令,可得.
所以,故.
故答案为：
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