深圳外国语学校高中园2024-2025学年高一下学期期中考试数学答案.docx
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深圳外国语学校高中园2024-2025学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
A
D
B
C
题号
9
10
11
答案
AB
AD
ABD
参考答案
12．13．/14．
15．(1)(2)
【分析】（1）先化简复数，由纯虚数的定义可得方程组，解出即可；
（2）由复数的几何意义可得，解出的范围即可.
【详解】（1）由，得，（3分）
若是纯虚数，则有，（5分）所以.（6分）
（2）复数在复平面内对应的点为，（8分）
由在复平面上对应的点在第二象限，得，（10分）解得，，（12分）
所以实数的取值范围为.（13分）
16．(1)，(2)
【分析】（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积；
（2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积．
【详解】（1）若四面体各棱长均为，
则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，
所以，（4分）
；（8分）
（2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，（10分）解得，（14分）
设长方体外接球的半径为，则，则，
所以外接球的表面积为．（15分）
17．(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证；
（2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时，分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论.
【详解】（1）因为，所以，所以，（2分）
因为平面（3分），平面（4分），所以平面.（5分）
（2）存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面..（7分）
下面给出证明：
因为，所以，，（8分）
又因为点为上靠近点三等分点，所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，（9分）
又因为面，面，所以面，（11分）
因为E在棱PD上且，即，
又因为，所以，所以，（12分）
又平面，平面，所以平面，（9分）
又因为平面，平面，，所以平面平面.（15分）
18.(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据向量的夹角公式结合已知条件列方程可求出，然后求出的坐标，从而可求出；
（2）由题意得，且，然后列方程组可求得结果；
（3）由题意得，且与的不共线，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
所以，（2分）解得，（3分）所以，
所以，（4分）所以；（6分）
（2）因为向量与方向相反，所以存在，使，（8分）
因为与不共线，所以，解得（舍去），或，（10分）
所以；（11分）
（3）因为，，所以，（12分）
因为与的夹角为锐角，所以且与的不共线（13分）
由，得，解得，（15分）
由与的不共线，得，得，所以且，（16分）
即实数的取值范围为.（17分）
19.(1)(2)(3)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小；
（2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解；
（3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到，设，进而求得长度的最大值.
【详解】（1）因为，（2分）
由正弦定理，可得，整理得，
又由余弦定理，可得，（4分）
又因为，所以.（5分）
（2）由正弦定理，可得
，（8分）
因为为锐角三角形，且，可得，
则，可得，则，
所以，即，（10分）
所以的取值范围.（11分）
（3）设长度为，
由，可得，（13分）
因为，可得，所以，可得（14分）
又由余弦定理得，
所以，则，（15分）
设
，（16分）
所以（17分）