高等数学课件D3习题课中值定理及导数的应用.pptx

二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理泰勒中值定理柯西中值定理

01微分中值定理的主要应用02研究函数或导数的性态03证明恒等式或不等式04证明有关中值问题的结论

3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.

在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例.设函数

满足下述等式01证明方程02在(0,1)内至少有一03个实根.04证:令05则可设06且07由罗尔定理知存在一点08使09即10例.设实数

二、导数应用研究函数的性态:求不定式极限;几何应用;证明不等式;研究方程实根等.目标函数的建立与简化拐点,04相关变化率;凹凸,03其他应用:极值,02解决最值问题增减,01最值的判别问题渐近线,05

例.填空题的连续性及导函数(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;

.在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,

例.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其他不变时,如何设辅助函数?

的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大值点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:例.求数列

例.证明01证:设02,则03故04时,05单调增加,06从而07即08

在上存在,且单调递减,有证:设则所以当令得即所证不等式成立.证明对一切例.设

证:只要证利用一阶泰勒公式,得例.故原不等式成立.

设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且例.分析:所给条件可写为(2003考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在

例.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点

例.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证

P1822(2);10(1),(3);(1);12作业

1.设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发散.证：故序列发散.(2007考研）

保号性定理2.设在区间上连续,且试证存在使证:不妨设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在使

例.证明01,则02故03时,04单调增加,05从而06即07思考:证明08时,如何设辅助09函数更好?10提示:11证:设

得则处的二阶泰勒公式,证:令故所证不等式成立.法1.由与1之间)在例.证明当x0时,

法2.列表判别.即